Metode dinamičke analize¶

Ovaj odjeljak opisuje metode analize dinamičkih problema izravnom vremenskom integracijom. U nastavku su prikazane formulacije implicitne i eksplicitne metode.

Diskretizacija jednadžbe gibanja (zajednički okvir)¶

TBD (bit će dovršeno u sljedećoj fazi).

Implicitna metoda (Newmark-β metoda)¶

Za dinamičke probleme primjenjuje se metoda izravne vremenske integracije za rješavanje jednadžbe gibanja prikazane u nastavku.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Ovdje je \(M\) matrica mase, \(C\) matrica prigušenja, \(Q\) vektor unutarnjih sila, a \(F\) vektor vanjskih sila. Pretpostavlja se da matrica mase ostaje konstantna neovisno o deformaciji, čak i u nelinearnoj analizi.

Promjene pomaka, brzine i ubrzanja tijekom vremenskog prirasta \(\Delta t\) aproksimiraju se Newmark-\(\beta\) metodom, kako je prikazano u jednadžbama \(\eqref{eq:2.5.2}\) i \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Ovdje su \(\gamma\) i \(\beta\) parametri Newmark-\(\beta\) metode.

Kao što je poznato, sljedeće vrijednosti \(\gamma\) i \(\beta\) odgovaraju metodi linearnog ubrzanja odnosno trapeznom pravilu.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (metoda linearnog ubrzanja)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapezno pravilo)

Uvrštavanjem jednadžbi \(\eqref{eq:2.5.2}\) i \(\eqref{eq:2.5.3}\) u jednadžbu \(\eqref{eq:2.5.1}\) dobiva se sljedeća jednadžba.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Posebno, za linearni problem \(K_L\) je linearna matrica krutosti, a \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Uvrštavanjem tog odnosa u prethodnu jednadžbu dobiva se sljedeća jednadžba.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Na mjestima na kojima je ubrzanje zadano kao geometrijski rubni uvjet, pomak se iz jednadžbe \(\eqref{eq:2.5.2}\) dobiva kako slijedi.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Slično tome, na mjestima na kojima je zadana brzina, pomak se iz jednadžbe \(\eqref{eq:2.5.6}\) dobiva kako slijedi.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Ovdje, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) je čvorni pomak u vremenu \(t+\Delta{t}\), a \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) čvorna brzina u vremenu \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) čvorno je ubrzanje u vremenu \(t+\Delta{t}\), \(i\) je broj čvornog stupnja slobode, a \(s\) broj čvora. Članovi mase i prigušenja obrađuju se kako slijedi.

Obrada člana mase¶

U načelu se matrica mase tretira kao koncentrirana matrica mase.

Obrada člana prigušenja¶

Član prigušenja tretira se kao Rayleighovo prigušenje izraženo jednadžbom \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Ovdje su \(R_m\) i \(R_k\) parametri Rayleighova prigušenja.

Vrijednosti \(R_m\) i \(R_k\) zadane na kartici !DYNAMIC primjenjuju se jednoliko na cijeli model. Za različite vrijednosti \(R_m\) i \(R_k\) po materijalu zadajte karticu !DAMPING unutar bloka !MATERIAL tog materijala. Za elemente materijala za koji je zadan !DAMPING, matrica prigušenja elementa izračunava se kao \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) iz matrice mase elementa \(M_i\) i tangentne matrice krutosti \(K_i\), te se sastavlja u globalnu matricu prigušenja. Ova funkcija vrijedi samo za implicitnu metodu.

Eksplicitna metoda (metoda središnjih razlika)¶

Eksplicitna metoda temelji se na jednadžbi gibanja u vremenu t prikazanoj u nastavku.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Izražavanjem pomaka u vremenima \(t + \Delta t\) i \(t - \Delta t\) Taylorovim razvojem oko vremena \(t\) te zadržavanjem članova do drugog reda u \(\Delta t\) dobivaju se sljedeće jednadžbe.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Oduzimanjem i zbrajanjem jednadžbi \(\eqref{eq:2.5.3}\) i \(\eqref{eq:2.5.4}\) dobivaju se sljedeće jednadžbe.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Uvrštavanjem jednadžbi \(\eqref{eq:2.5.12}\) i \(\eqref{eq:2.5.13}\) u jednadžbu \(\eqref{eq:2.5.9}\) dobiva se sljedeća jednadžba.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Posebno, za linearni problem vrijedi \(Q(t) = K_L U(t)\), pa prethodna jednadžba postaje

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Ako se matrica mase \(M\) uzme kao koncentrirana matrica mase, a matrica prigušenja kao proporcionalna matrica prigušenja \(C = R_m M\), jednadžba \(\eqref{eq:2.5.15}\) ne zahtijeva rješavanje sustava simultanih jednadžbi.

Stoga se iz jednadžbe \(\eqref{eq:2.5.15}\) vrijednost \(U(t+\Delta t)\) može dobiti sljedećom jednadžbom.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Povezane teme¶

Vrste analiza — Pregled i odabir funkcija dinamičke analize
Literatura