Preskoči na sadržaj

Popis simbola fizikalnih veličina

Ova stranica navodi simbole fizikalnih veličina koji se upotrebljavaju u teorijskom priručniku FrontISTR-a. Za konvencije notacije (podebljana notacija vektora i tenzora, Einsteinova konvencija zbrajanja i Voigtova notacija) pogledajte Tenzorsku notaciju i matematičke osnove.

Konfiguracije i koordinatni sustavi

Simbol Opis
\(\boldsymbol{X}\) Vektor položaja materijalne točke u referentnoj (početnoj) konfiguraciji (materijalne koordinate)
\(\boldsymbol{x}\) Vektor položaja materijalne točke u trenutačnoj konfiguraciji (prostorne koordinate)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Preslikavanje gibanja: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Domena koju tijelo zauzima u referentnoj konfiguraciji
\(\Omega\) Domena koju tijelo zauzima u trenutačnoj konfiguraciji
\(\Gamma_0\) Granica \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Granica \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Geometrijska granica (pomak): granica u trenutačnoj/referentnoj konfiguraciji na kojoj je zadano \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Mehanička granica: granica u trenutačnoj/referentnoj konfiguraciji na kojoj je zadano \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (ili \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))
\(\boldsymbol{n}\) Vanjski jedinični vektor normale na plohu u trenutačnoj konfiguraciji
\(\boldsymbol{N}\) Vanjski jedinični vektor normale na plohu u referentnoj konfiguraciji
\(t\) Vrijeme

Konvencija: Fizikalne veličine u referentnoj konfiguraciji označavaju se velikim slovima ili donjim indeksom \(0\), dok se veličine u trenutačnoj konfiguraciji označavaju malim slovima.

Vrijeme i prirasti (inkrementalna analiza)

Simbol Opis
\(\Delta t\) Vremenski prirast: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Fizikalna veličina u vremenu \(t\) (lijevi gornji indeks). Primjer: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) je Cauchyjevo naprezanje u vremenu \(t\)
\(^{t}\Omega\) Domena trenutačne konfiguracije u vremenu \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Granica trenutačne konfiguracije u vremenu \(t\)

Konvencija: U inkrementalnoj analizi stanje do vremena \(t\) smatra se poznatim, a stanje u vremenu \(t + \Delta t\) rješava se kao nepoznato. Lijevi gornji indeks izostavlja se kada vrijeme nije potrebno izričito navesti. Formulacija koja kao referencu koristi referentnu konfiguraciju \(\Omega_0\) naziva se totalna Lagrangeova formulacija, a formulacija koja kao referencu koristi trenutačnu konfiguraciju \(^{t}\Omega\) na početku prirasta naziva se ažurirana Lagrangeova formulacija.

Pomak, brzina, ubrzanje i volumna sila

Simbol Opis
\(\boldsymbol{u}\) Vektor pomaka: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Pomak zadan na geometrijskoj granici \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Virtualni pomak (testna funkcija): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) na \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Vektor brzine: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Vektor ubrzanja: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Volumna sila (po jedinici mase)
\(\boldsymbol{t}\) Vektor površinske sile (po jedinici površine): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Površinska sila zadana na mehaničkoj granici \(\Gamma_t\) (Neumannovi podaci)

Diferencijalni operatori

Simbol Opis
\(\dot{(\cdot)}\) Materijalna vremenska derivacija (vremenska derivacija koja prati istu materijalnu točku): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradijent u referentnoj konfiguraciji (gradijent po materijalnim koordinatama \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradijent u trenutačnoj konfiguraciji (gradijent po prostornim koordinatama \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Operator simetričnog gradijenta: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Napomena: \(\nabla_X\) i \(\nabla_x\) povezani su odnosom \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Gradijent bez donjeg indeksa, \(\nabla\), upotrebljava se kada je konfiguracija jasna iz konteksta ili kada razlika nestaje, kao u problemima malih deformacija.

Tenzori deformacije

Simbol Opis
\(\boldsymbol{F}\) Tenzor gradijenta deformacije: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Omjer volumena: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Desni Cauchy-Greenov tenzor deformacije: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Lijevi Cauchy-Greenov tenzor deformacije: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Tenzor gradijenta brzine: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Tenzor brzine deformacije (simetrični dio \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Tenzor spina (antisimetrični dio \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Tenzori deformacije

Simbol Opis
\(\boldsymbol{E}\) Green-Lagrangeov tenzor deformacije (referentna konfiguracija): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Almansijev tenzor deformacije (trenutačna konfiguracija): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Linearni dio Almansijeva tenzora deformacije (simetrični gradijent pomaka u trenutačnoj konfiguraciji): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Tenzor infinitezimalne deformacije (linearna aproksimacija): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Napomena: \(\boldsymbol{E}\) upotrebljava se prvenstveno u totalnoj Lagrangeovoj formulaciji, dok se \(\boldsymbol{D}\) prvenstveno upotrebljava u ažuriranoj Lagrangeovoj formulaciji.

Tenzori naprezanja

Simbol Opis
\(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchyjev tenzor naprezanja (stvarno naprezanje, trenutačna konfiguracija): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Prvi Piola-Kirchhoffov tenzor naprezanja (nominalno naprezanje): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Drugi Piola-Kirchhoffov tenzor naprezanja (referentna konfiguracija, simetričan): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Odnosi pretvorbe između tenzora naprezanja:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Konvencija: Totalna Lagrangeova formulacija koristi par \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), dok ažurirana Lagrangeova formulacija koristi par \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Gustoća i masa

Simbol Opis
\(\rho\) Gustoća mase u trenutačnoj konfiguraciji
\(\rho_0\) Gustoća mase u referentnoj konfiguraciji

Očuvanje mase: \(\rho_0 = J\rho\).

Materijalne konstante (linearna elastičnost)

Simbol Opis
\(E\) Youngov modul
\(\nu\) Poissonov omjer
\(\lambda\) Prva Laméova konstanta: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Druga Laméova konstanta (modul smicanja): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Tenzor elastičnosti (četvrtog reda): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponente \(C_{ijkl}\)
\(D\) (ili \(\hat{\tilde{C}}\)) Materijalna matrica (Voigtova notacija, \(6\times6\) u 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Komponente tenzora elastičnosti za izotropni linearno elastični materijal:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Hiperelastični materijali

Simbol Opis
\(W(\boldsymbol{C})\) Funkcija elastičnog potencijala (funkcija gustoće energije deformacije)
\(I_1, I_2, I_3\) Glavne invarijante desnog Cauchy-Greenova tenzora \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Reducirane invarijante \(\boldsymbol{C}\) (izdvojena volumenska promjena)
\(C_1, C_2\) Materijalne konstante Mooney-Rivlinova modela
\(D\) Materijalna konstanta povezana s volumenskom elastičnošću

Elastoplastični materijali

Simbol Opis
\(\boldsymbol{D}^e\) Elastična komponenta tenzora brzine deformacije
\(\boldsymbol{D}^p\) Plastična komponenta tenzora brzine deformacije
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Funkcija tečenja
\(\kappa\) Unutarnja varijabla koja predstavlja plastično stanje (varijabla izotropnog očvršćivanja)
\(\lambda^p\) Plastični multiplikator (multiplikator brzine plastične deformacije): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Plastični potencijal (\(\Theta = F\) za pridruženo pravilo tečenja)
\(\bar{\sigma}\) Ekvivalentno naprezanje (npr. von Misesovo naprezanje)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Ekvivalentna plastična deformacija
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Funkcija izotropnog očvršćivanja

Uvjet komplementarnosti: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Metoda konačnih elemenata

Simbol Opis
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Domene u trenutačnoj i referentnoj konfiguraciji aproksimirane diskretizacijom konačnim elementima: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Domena elementa u trenutačnoj i referentnoj konfiguraciji
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Dio granice elementa koji pripada mehaničkoj granici
\(\boldsymbol{r}\) Prirodne koordinate (lokalne koordinate elementa)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Točka u prirodnim koordinatama koja odgovara čvoru \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Funkcija oblika koja odgovara čvoru \(\alpha\) elementa \(e\)
\(n_e\) Broj čvorova koji čine element
\(n_g\) Ukupan broj globalnih čvorova
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Koordinate i pomak čvora elementa \(\alpha\)
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Čvorni vektori koordinata i pomaka elementa: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) itd.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Globalni čvorni vektori koordinata i pomaka (redoslijed po broju čvora, zatim po stupnju slobode)
\(\boldsymbol{B}\) Matrica odnosa deformacija–pomak (B-matrica)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Matrica funkcija oblika: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) je blok \(d \times d\) s funkcijom oblika \(N_\alpha^e\) za čvor \(\alpha\) na dijagonali, a \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Matrica krutosti elementa
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Integrandi matrice krutosti elementa (izraženi u referentnoj i trenutačnoj konfiguraciji): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (TL formulacija), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL formulacija) Vektor unutarnjih sila elementa
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Čvorna vanjska sila koja djeluje na čvor elementa \(\alpha\) i čvorni vektor vanjskih sila elementa: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Globalni vektor unutarnjih sila i globalni vektor vanjskih sila: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); analogno za \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Čvorna unutarnja i čvorna vanjska sila u globalnom čvoru \(i_g\) (čvorni blokovi \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Globalna tangentna matrica krutosti: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matrica nastala postavljanjem bloka \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) u redak \(i_g\), stupac \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Vektor reziduala u Newton-Raphsonovoj iteraciji: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Korekcija u Newton-Raphsonovoj iteraciji (dobiva se rješavanjem linearne jednadžbe \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) u iteraciji \(i\))
\(i_g\) Broj globalnog čvora (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Broj globalnog čvora koji odgovara lokalnom broju čvora \(\alpha\) elementa \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Skup parova \((e, \alpha)\) koji odgovaraju broju globalnog čvora \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Upotrebljava se pri sastavljanju
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Skup trojki \((e, \alpha, \beta)\) koje odgovaraju paru brojeva globalnih čvorova \((i_g, i_h)\); upotrebljava se za sastavljanje matrice krutosti
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Indeksi čvorova koji čine element
\(i, j, k, l, \ldots\) Indeksi stupnjeva slobode (\(1, 2, 3\) u 3D)

Napredni i konstrukcijski elementi

Simbol Opis
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Matrica odnosa deformacija–pomak čiji je volumenski dio izmijenjen B-bar metodom (volumenska komponenta zamjenjuje se B-matricom izračunanom u središtu elementa)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Gradijent deformacije čiji je volumenski dio izmijenjen F-bar metodom: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Omjer volumena gradijenta deformacije izračunanog u središtu elementa \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Vektor unutarnjih stupnjeva slobode za element s nekompatibilnim modovima (koeficijenti dodatnih modova pomaka koji ne nameću kontinuitet na granici elementa)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Funkcije oblika za nekompatibilne modove: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Debljina ljuskastog elementa
\(A\) Površina poprečnog presjeka grednog elementa
\(I\) Drugi moment površine poprečnog presjeka grednog elementa
\(G\) Modul smicanja: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

Povezane teme

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status