Tenzorska notacija i matematičke osnove¶

Ovo poglavlje objedinjuje pravila tenzorske, indeksne i Voigtove notacije koja se upotrebljavaju u sljedećim poglavljima teorijskog priručnika FrontISTR-a. Ovdje su opisana samo čista pravila notacije koja ne ovise o definicijama fizikalnih veličina. Pravila notacije koja ovise o konfiguraciji povezanoj s gibanjem kontinuuma (referentna/trenutačna konfiguracija), poput razlikovanja velikih i malih slova te materijalnih i prostornih derivacija, navedena su u poglavlju Gibanje, deformacija i deformacija tijela, gdje se uvodi pojam konfiguracije.

Tenzorska notacija¶

Podebljana notacija vektora i tenzora¶

Prema tipografskom pravilu, skalarne veličine i komponente vektora i tenzora pišu se običnim slogom (npr. \(\rho\) i \(x_i\)), dok se vektorske i tenzorske veličine same pišu podebljano (npr. \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) i \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Einsteinova konvencija zbrajanja¶

Ako nije drukčije navedeno, upotrebljava se Einsteinova konvencija zbrajanja: kada se isti indeks pojavi dvaput u istom članu, po tom se indeksu provodi zbrajanje. Na primjer,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

a \(i,j\)-komponenta umnoška \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) tenzora \(\boldsymbol{A}\) i \(\boldsymbol{B}\) jest

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Prema indeksnoj konvenciji, kada se \(i, j, k, l, \ldots\) upotrebljavaju kao indeksi bez dodatnog pojašnjenja, označuju indekse povezane sa stupnjevima slobode (\(1, 2, 3\) u tri dimenzije), dok mala grčka slova \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) kao indeksi označuju indekse povezane s čvorovima koji čine element.

Unutarnji produkt, transponiranje i tenzorski produkt¶

Transponirani tenzor \(\boldsymbol{A}\) označava se s \(\boldsymbol{A}^T\). Unutarnji produkt (dvostruka kontrakcija) tenzora drugog reda \(\boldsymbol{A}\) i \(\boldsymbol{B}\) zapisuje se kao

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Unutarnji produkt vektora \(\boldsymbol{a}\) i \(\boldsymbol{b}\) jest \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), a njihov tenzorski produkt jest \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigtova notacija¶

Naprezanje i deformacija simetrični su tenzori drugog reda s obzirom na stupnjeve slobode, a koeficijenti koji predstavljaju linearni odnos između njih tvore tenzor četvrtog reda. Njihova izravna obrada u programu nepovoljna je s obzirom na računski trošak i implementaciju (višedimenzionalna polja i duboko ugniježđene petlje). Zato opći programi konačnih elemenata iskorištavaju simetriju te sažimaju naprezanje i deformaciju u stupčane vektore, a tenzor elastičnosti četvrtog reda u dvodimenzionalnu matricu. To se naziva Voigtovom notacijom.

U nastavku se matrični ili vektorski prikaz tenzorske veličine \(\boldsymbol{A}\) označava s \(\hat{A}\) kako bi se razlikovao od izvornog tenzora.

Vektorski prikaz naprezanja i deformacije¶

Za simetrični tenzor naprezanja \(\boldsymbol{\sigma}\) i tenzor deformacije \(\boldsymbol{\varepsilon}\), u dvije dimenzije,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

u tri dimenzije,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

obrađuju se kao stupčani vektori kako je prikazano gore. Isto pravilo vrijedi za izvedene veličine poput varijacija i diferencijala. Važno je da smične komponente na strani deformacije imaju faktor 2 (na strani naprezanja nemaju). Zbog te asimetrije tenzorski unutarnji produkt može se sažeto zapisati kao vektorski unutarnji produkt

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Pri implementaciji se faktor 2 na smičnim komponentama deformacije lako može pogrešno obraditi, pa uvijek treba imati na umu pravilo „nema za naprezanje / postoji za deformaciju”. Ista Voigtova konvencija primjenjuje se i na veličine u referentnoj konfiguraciji (drugo Piola-Kirchhoffovo naprezanje \(\boldsymbol{S}\) i Green-Lagrangeova deformacija \(\boldsymbol{E}\)).

Matrični prikaz tenzora četvrtog reda¶

Za linearni odnos između naprezanja i deformacije, \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (u komponentnom obliku \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), uporabom simetrije \(\boldsymbol{\varepsilon}\) dobiva se

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

U tri dimenzije, raspoređivanjem \(\tilde{C}\) u materijalnu matricu 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\) izvorni tenzorski odnos može se izraziti kao

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

U nastavku ovog priručnika, ako nije drukčije navedeno, materijalna matrica označava se s \(D\) (ili \(\hat{C}\)). Za konkretne komponente izotropne linearne elastičnosti pogledajte Linearnu elastičnost.

Konvencije diferencijalnih operatora¶

Operator simetričnog gradijenta¶

Operator simetričnog gradijenta \(\nabla_S\) za vektorsko polje \(\boldsymbol{u}\) definira se kao

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

U komponentnom obliku vrijedi \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Deformacija pri infinitezimalnim deformacijama \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) može se sažeto izraziti tim operatorom. Razlikovanje konfiguracija (referentne/trenutačne) s obzirom na koje se uzimaju gradijenti pri konačnim deformacijama obrađeno je u poglavlju Gibanje, deformacija i deformacija tijela.

Materijalna vremenska derivacija¶

Materijalna vremenska derivacija veličine \(A\) (vremenska derivacija koja prati istu materijalnu točku) označava se točkom iznad simbola, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Brzina i ubrzanje slijede ovu konvenciju.

Povezane teme¶

Gibanje, deformacija i deformacija tijela — Pojmovi referentne/trenutačne konfiguracije i konvencije notacije ovisne o konfiguraciji (velika/mala slova, materijalne/prostorne derivacije)
Naprezanje i zakoni očuvanja — Izvod upravljačkih jednadžbi uporabom ove notacije
Načelo virtualnog rada — Primjena slabe formulacije i Voigtove notacije
Linearna elastičnost — Konkretan oblik materijalne matrice \(D\)
Funkcije oblika i aproksimacija konačnim elementima — Izračun krutosti elementa uporabom Voigtove notacije