Jednadžba provođenja topline¶

Ovo poglavlje sažima upravljačku jednadžbu provođenja topline koju FrontISTR obrađuje na razini kontinuuma te pripadne rubne uvjete. Vremenska diskretizacija i FEM diskretizacija obrađene su u odjeljku o diskretizaciji (L3d) i odjeljku o algoritmima rješavanja (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Upravljačka jednadžba¶

Jednadžba provođenja topline u kontinuumu glasi kako slijedi.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Ovdje \(\rho=\rho(x)\) označava gustoću mase, \(c=c(x,T)\) specifični toplinski kapacitet, \(T=T(x,t)\) temperaturu, \(k=k(x,T)\) toplinsku vodljivost, \(Q=Q(x,T,t)\) stvaranje topline, \(x\) položaj, a \(t\) vrijeme. \(k_x, k_y, k_z\) su toplinske vodljivosti u odgovarajućim smjerovima za anizotropno provođenje topline.

Za konkretna toplinska svojstva, uključujući temperaturnu ovisnost i anizotropiju, pogledajte Toplinska svojstva.

Rubni uvjeti¶

Neka je promatrana domena \(S\), a njezina granica označena s \(\Gamma\). Uz pretpostavku da je na cijeloj \(\Gamma\) zadan rubni uvjet Dirichletova ili Neumannova tipa, rubni uvjeti glase kako slijedi.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]

\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Pretpostavlja se da su funkcijski oblici \(T_1\) i \(q\) poznati. \(q\) je toplinski tok koji izlazi kroz granicu. Rubni toplinski tok \(q\) sastoji se od sljedeće tri komponente.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Ovdje je \(q_s\) raspodijeljeni toplinski tok, \(q_c\) toplinski tok uslijed konvektivnog prijenosa topline, a \(q_r\) toplinski tok uslijed prijenosa topline zračenjem.

Ovdje je \(Tc=Tc(x,t)\) temperatura okoline za konvektivni prijenos topline, \(hc=hc(x,t)\) koeficijent konvektivnog prijenosa topline, \(Tr=Tr(x,t)\) temperatura okoline za prijenos topline zračenjem, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) koeficijent prijenosa topline zračenjem, \(\varepsilon\) emisivnost, \(\sigma\) Stefan-Boltzmannova konstanta, a \(F\) faktor pogleda.

Za način zadavanja tih uvjeta u ulaznoj datoteci pogledajte Rubne uvjete i opterećenja u funkcijskom priručniku.

Slaba formulacija¶

Sprega sa strukturnom analizom¶

Povezane teme¶

Nestacionarno provođenje topline — Vremenska diskretizacija i nelinearna iteracija
Toplinska svojstva — Formulacija svojstava materijala i temperaturne ovisnosti
Funkcije oblika i aproksimacija konačnim elementima — Okvir za FEM diskretizaciju
Funkcijski priručnik: Rubni uvjeti i opterećenja — Unos rubnih uvjeta za analizu provođenja topline