Preskoči na sadržaj

Okvir inkrementalne analize

Potreba za inkrementalnom analizom

Kao što je prethodno opisano, kod analize problema malih deformacija metoda konačnih elemenata može se primijeniti uporabom principa virtualnog rada, koji je ekvivalentan temeljnim jednadžbama kao što su jednadžbe ravnoteže, te diskretizacijom tog izraza konačnim elementima. Isti se osnovni princip virtualnog rada primjenjuje i pri analizi problema konačnih deformacija koji uključuju velike deformacije konstrukcija.

Međutim, u problemima konačnih deformacija jednadžba principa virtualnog rada postaje nelinearna u odnosu na pomak čak i ako se pretpostavi linearno ponašanje materijala. Za rješavanje nelinearnih jednadžbi obično se primjenjuju ponovljeni izračuni iteracijskom metodom.

U tim iteracijskim izračunima primjenjuje se metoda inkrementalne analize: proračun se provodi po dijelovima za male inkremente opterećenja, a inkrementi se zbrajaju sve dok se ne dosegne konačno deformirano stanje. Ako se pretpostavi problem malih deformacija, konfiguracije prije i nakon deformacije ne razlikuju se posebno pri definiranju deformacije i naprezanja. Drugim riječima, uz pretpostavku malih deformacija nije bitno opisuju li se temeljne jednadžbe u konfiguraciji prije ili nakon deformacije.

Pri inkrementalnoj analizi problema konačnih deformacija formulacija se razlikuje ovisno o tome uzima li se kao referentna konfiguracija početna konfiguracija ili konfiguracija na početku inkrementa. Prva se naziva metodom total Lagrange, a druga metodom updated Lagrange. Za pojedinosti pogledajte literaturu na kraju poglavlja i povezane materijale.

Početna jednadžba: princip virtualnog rada u trenutku \(t'\)

Pretpostavlja se inkrementalna analiza u kojoj je stanje do trenutka \(t\) poznato, a stanje u trenutku \(t' = t + \Delta t\) nepoznato (vidi sliku 2.2.1). Jednadžbe ravnoteže, granični uvjeti i princip virtualnog rada u trenutku \(t'\) (zapisani u trenutačnoj konfiguraciji s Cauchyjevim naprezanjem \(^{t'}\sigma\) i linearnim dijelom Almansijeve deformacije \(^{t'} A_{(L)}\)) dani su u Principu virtualnog rada.

Koncept inkrementalne analize

Slika 2.2.1 Koncept inkrementalne analize

Međutim, budući da je ova početna jednadžba zapisana u (nepoznatoj) konfiguraciji u trenutku \(t'\), u stvarnom postupku rješavanja ponovno se odabire početna konfiguracija \(V\) u trenutku \(0\) ili trenutačna konfiguracija \(^{t'} v\) u trenutku \(t\) kao referentna konfiguracija, jednadžba se prepisuje u inkrementalni oblik i zatim rješava:

  • Metoda Total Lagrange — Kao referentnu koristi početnu konfiguraciju \(V\). Upotrebljavaju se drugi PK tenzor naprezanja \(\boldsymbol{S}\) i Green-Lagrangeova deformacija \(\boldsymbol{E}\).
  • Metoda Updated Lagrange — Kao referentnu koristi trenutačnu konfiguraciju \(^{t}v\) na početku inkrementa. Upotrebljavaju se Cauchyjevo naprezanje \(\boldsymbol{\sigma}\) i linearni dio Almansijeve deformacije \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

Za prostornu diskretizaciju obiju formulacija (B-matrica i vektor unutarnjih sila) pogledajte Diskretizaciju virtualnog rada unutarnjih sila; za linearizaciju i konstrukciju tangentne krutosti pogledajte Tangentnu matricu krutosti.

Povezane teme

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status