Preskoči na sadržaj

Princip virtualnog rada

Na temelju jednadžbe ravnoteže i graničnih uvjeta izvedenih u Naprezanju i zakonima očuvanja, izvodi se princip virtualnog rada, koji je slaba forma rubnog problema mehanike kontinuuma. Diskretizacija metodom konačnih elemenata polazi od te slabe forme. Ovo poglavlje prikazuje i oblik u trenutačnoj konfiguraciji (izražen Cauchyjevim naprezanjem i linearnim dijelom Almansijeve deformacije) i oblik u referentnoj konfiguraciji (izražen drugim Piola-Kirchhoffovim naprezanjem i Green-Lagrangeovom deformacijom), pokazuje njihovu ekvivalentnost, a zatim potvrđuje redukciju na male deformacije.

Jednadžba ravnoteže i granični uvjeti

Neka je \(\boldsymbol{g}\) volumenska sila koja djeluje na kontinuum po jedinici mase i razmotrimo tijelo koje u trenutačnoj konfiguraciji zauzima domenu \(\Omega\). Granica \(\Gamma\) dijeli se na geometrijsku granicu \(\Gamma_B\), na kojoj je zadan pomak \(\bar{\boldsymbol{u}}\), i mehaničku granicu \(\Gamma_t\), na kojoj je zadana površinska sila \(\bar{\boldsymbol{t}}\), pri čemu vrijedi \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) i \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Za statički problem jednadžba ravnoteže dobiva se izostavljanjem inercijskog člana iz zakona očuvanja količine gibanja prikazanog u Naprezanju i zakonima očuvanja:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

Granični uvjeti su

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

U nastavku se princip virtualnog rada izvodi kao slaba forma jednadžbe ravnoteže i mehaničkog graničnog uvjeta \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Geometrijski granični uvjet \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) uključuje se odabirom testne funkcije.

Slaba forma u trenutačnoj konfiguraciji

U slaboj formi definirajmo dopušteni prostor za nepoznati pomak i prostor testnih funkcija kao

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

Ovdje je \(d\) prostorna dimenzija, \(H^1(\Omega)\) Soboljevljev prostor funkcija koje su kvadratno integrabilne zajedno sa svojim prvim slabim derivacijama, a \(\delta\) označuje varijaciju. U prikazu trenutačne konfiguracije \(\Omega\) je deformirana konfiguracija; u stvarnom numeričkom rješavanju ona se preslikava natrag na referentnu konfiguraciju ili na poznatu međukonfiguraciju.

Množenjem jednadžbe ravnoteže težinskom funkcijom \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) i primjenom Gaussova teorema divergencije te mehaničkog graničnog uvjeta dobiva se sljedeći princip virtualnog rada u trenutačnoj konfiguraciji.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Ovdje je \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) linearni dio Almansijeva tenzora deformacije, definiran kao

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Njegova je varijacija \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Stoga tražimo \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) takav da jednadžba virtualnog rada bude zadovoljena za svaki \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Lijeva strana je virtualni rad unutarnjih sila, a desna virtualni rad vanjskih sila zbog zadane površinske i volumenske sile.

Budući da je ova jednadžba zapisana nad deformiranom domenom (trenutačna konfiguracija), stvarni postupak rješavanja ponovno odabire početnu konfiguraciju \(\Omega_0\) (referentnu konfiguraciju) ili poznatu međukonfiguraciju kao referentnu konfiguraciju, prepisuje jednadžbu u inkrementalnom obliku i zatim je rješava. Za konkretan izbor referentne konfiguracije (Total Lagrange / Updated Lagrange) i inkrementalnu dekompoziciju pogledajte Okvir inkrementalne analize.

Slaba forma u početnoj konfiguraciji

Razmotrimo tijelo koje zauzima domenu \(\Omega_0\) u referentnoj konfiguraciji, s granicom \(\Gamma_0\) podijeljenom na \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Preslikavanjem prikaza iz trenutačne konfiguracije natrag na referentnu konfiguraciju dobiva se konjugirani par naprezanje–deformacija koji čine drugo Piola-Kirchhoffovo naprezanje \(\boldsymbol{S}\) i Green-Lagrangeova deformacija \(\boldsymbol{E}\). Princip virtualnog rada u početnoj konfiguraciji tada glasi

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Ovdje je \(\rho_0\) gustoća mase u referentnoj konfiguraciji, a prema relaciji očuvanja mase \(\rho_0 = J\rho\) ovaj je oblik ekvivalentan prikazu volumenske sile u trenutačnoj konfiguraciji.

Ekvivalentnost prikaza trenutačne i početne konfiguracije

Virtualni rad unutarnjih sila u oba prikaza jednak je preko transformacije gradijentom deformacije \(\boldsymbol{F}\) i omjerom volumena \(J = \det \boldsymbol{F}\), odnosno

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Članovi vanjskih sila također su ekvivalentni zbog očuvanja mase i transformacije površinske sile. Stoga jednadžba virtualnog rada u trenutačnoj konfiguraciji i ona u početnoj konfiguraciji izražavaju isti princip u različitim konfiguracijama. Metoda rješavanja koja se poziva na referentnu konfiguraciju odgovara Total Lagrange metodi, dok metoda koja se poziva na trenutačnu konfiguraciju (neposredno prethodnu konvergiranu konfiguraciju) odgovara Updated Lagrange metodi.

Redukcija na male deformacije

Uz pretpostavke malih deformacija \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) i \(J \approx 1\) nestaje razlika između trenutačne i referentne konfiguracije, drugo PK naprezanje podudara se s Cauchyjevim naprezanjem (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), a Green-Lagrangeova deformacija i linearni dio Almansijeve deformacije reduciraju se na infinitezimalnu deformaciju \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Princip virtualnog rada tada se reducira na slabu formu izraženu Cauchyjevim naprezanjem \(\boldsymbol{\sigma}\) i infinitezimalnom deformacijom \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

To je slaba forma koja se izravno koristi za diskretizaciju u linearno elastičnoj statičkoj analizi malih deformacija (Linearna elastična statička analiza (uvod i dodatak) polazi od tog oblika i prikazuje konstrukciju krutosti elementa \(\boldsymbol{K}^e\) sastavljanjem globalne jednadžbe \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Uvrštavanjem linearno elastičnog konstitutivnog zakona \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) i zapisom \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) u Voigtovoj notaciji, slaba forma postaje

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

i ima ovaj oblik.

Povezane teme

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status