Naprezanje i zakoni očuvanja¶

Ovo poglavlje sažima definicije i međusobne odnose tenzora naprezanja te jednadžbe ravnoteže i simetriju naprezanja izvedene iz zakona očuvanja mase, količine gibanja i momenta količine gibanja. Tri tenzora naprezanja — Cauchyjevo naprezanje \(\boldsymbol{\sigma}\), prvi Piola-Kirchhoffov tenzor naprezanja \(\boldsymbol{P}\) i drugi Piola-Kirchhoffov tenzor naprezanja \(\boldsymbol{S}\) — uvode se ovisno o tome koja se konfiguracija koristi za referentnu plohu i vektor sile. Za definicije konfiguracije, gibanja i gradijenta deformacije pogledajte Gibanje, promjena oblika i deformacija, a za popis simbola Popis simbola fizikalnih veličina.

Cauchyjev tenzor naprezanja¶

Neka je \(d\boldsymbol{f}\) sila koja djeluje na infinitezimalnu plohu u točki \(\boldsymbol{x}\) trenutačne konfiguracije (površina \(d\Gamma\), vanjska jedinična normala \(\boldsymbol{n}\)), a vektor trakcije \(\boldsymbol{t}\) definira se kao sila po jedinici površine izrazom \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) ovisi i o položaju \(\boldsymbol{x}\) i o normali \(\boldsymbol{n}\). Primjena zakona očuvanja količine gibanja na infinitezimalni tetraedar pokazuje da je \(\boldsymbol{t}\) linearan u \(\boldsymbol{n}\), pa postoji tenzor drugog reda \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) takav da

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

vrijedi za svaki \(\boldsymbol{n}\) (Cauchyjev teorem o naprezanju). Taj tenzor \(\boldsymbol{\sigma}\) naziva se Cauchyjevim tenzorom naprezanja, odnosno stvarnim naprezanjem, jer predstavlja silu po jedinici površine mjerenu prema geometriji trenutačne konfiguracije. Komponenta \(\sigma_{ij}\) predstavlja \(x_i\) komponentu sile po jedinici površine koja djeluje na infinitezimalnu plohu normalnu na koordinatnu os \(x_j\) u trenutačnoj konfiguraciji.

Kao što će se pokazati iz zakona očuvanja momenta količine gibanja, Cauchyjevo naprezanje simetričan je tenzor

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

pa u tri dimenzije ima šest neovisnih komponenti (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Vektorizacija naprezanja u Voigtovoj notaciji pretpostavlja tu simetriju (vidi Tenzorska notacija i matematičke osnove). Cauchyjevo naprezanje koristi se za izlaz naprezanja u geometrijski nelinearnoj analizi FrontISTR-a metodom Updated Lagrange i u analizi malih deformacija.

Prvi i drugi Piola-Kirchhoffov tenzor naprezanja¶

Kod konačnih deformacija često je prikladno naprezanje izraziti u odnosu na plohe i vektore referentne konfiguracije, pa se uvode dva Piola-Kirchhoffova tenzora naprezanja. Neka je površina infinitezimalne plohe u referentnoj konfiguraciji \(d\Gamma_0\), a njezina vanjska jedinična normala \(\boldsymbol{N}\).

Prvi Piola-Kirchhoffov tenzor naprezanja (prvi PK tenzor naprezanja, nominalno naprezanje) \(\boldsymbol{P}\) definira se kao tenzor naprezanja dobiven kada sila \(d\boldsymbol{f}\) u trenutačnoj konfiguraciji djeluje na infinitezimalnu plohu u referentnoj konfiguraciji:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Uporabom Nansonove formule \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) i Cauchyjeva teorema o naprezanju dobiva se odnos s Cauchyjevim naprezanjem

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Prvi PK tenzor naprezanja općenito nije simetričan.

Drugi Piola-Kirchhoffov tenzor naprezanja (drugi PK tenzor naprezanja) \(\boldsymbol{S}\) definira se kao tenzor naprezanja dobiven povlačenjem sile \(d\boldsymbol{f}\) iz trenutačne konfiguracije u referentnu konfiguraciju pomoću \(\boldsymbol{F}^{-1}\) i njezinom primjenom na infinitezimalnu plohu u referentnoj konfiguraciji:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

I vektor sile i ploha na koju djeluje izraženi su veličinama referentne konfiguracije, zbog čega je tenzor invarijantan na rotaciju krutog tijela i simetričan. Njegov odnos s prvim PK tenzorom naprezanja i transformacija iz Cauchyjeva naprezanja jesu

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Drugi PK tenzor naprezanja izvodi se iz hiperelastične funkcije energije deformacije \(W(\boldsymbol{C})\) kao \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) te se u metodi Total Lagrange koristi zajedno s Green-Lagrangeovom deformacijom \(\boldsymbol{E}\) kao radno konjugirani par \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Referentne konfiguracije i svojstva simetrije sažeti su u nastavku. U granici malih deformacija (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) tri se naprezanja podudaraju.

Tenzor naprezanja	Referentna ploha	Vektor sile	Simetrija	Primjena
Cauchyjevo naprezanje \(\boldsymbol{\sigma}\)	Trenutačna konfiguracija \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Trenutačna konfiguracija \(d\boldsymbol{f}\)	Simetričan	Metoda Updated Lagrange / analiza malih deformacija
Prvi PK tenzor naprezanja \(\boldsymbol{P}\)	Referentna konfiguracija \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Trenutačna konfiguracija \(d\boldsymbol{f}\)	Općenito nesimetričan	Jednadžbe ravnoteže u referentnoj konfiguraciji
Drugi PK tenzor naprezanja \(\boldsymbol{S}\)	Referentna konfiguracija \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Referentna konfiguracija \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Simetričan	Metoda Total Lagrange / hiperelastičnost

Očuvanje mase i količine gibanja te jednadžbe ravnoteže¶

Neka je \(\rho\) gustoća mase u trenutačnoj konfiguraciji, a \(\rho_0\) gustoća mase u referentnoj konfiguraciji. Zakon očuvanja mase \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), zajedno s transformacijom volumnog elementa \(dv = J\, dV\), svodi se na lokalni oblik

\[ \rho_0 = J \rho \]

To je lokalni odnos očuvanja mase.

Neka je \(\boldsymbol{g}\) volumna sila po jedinici mase, a \(\boldsymbol{a}\) ubrzanje. Primjena Cauchyjeva teorema o naprezanju i Gaussova teorema divergencije na zakon očuvanja količine gibanja (prvi Eulerov zakon gibanja) daje lokalnu jednadžbu ravnoteže (jednadžbu gibanja) u trenutačnoj konfiguraciji:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Prepisivanje integrala u referentnoj konfiguraciji uporabom Nansonove formule i \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) daje lokalni oblik u referentnoj konfiguraciji:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Oba su oblika ekvivalentna preko pravila transformacije naprezanja i \(\rho_0 = J\rho\). Zanemarivanjem inercijskog člana dobiva se

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

što je jednadžba statičke ravnoteže i polazište za statičku analizu FrontISTR-a (linearnu i nelinearnu).

Očuvanje momenta količine gibanja i simetrija naprezanja¶

Kombiniranjem zakona očuvanja momenta količine gibanja (drugi Eulerov zakon gibanja) s jednadžbom ravnoteže iz zakona očuvanja količine gibanja dobiva se simetrija Cauchyjeva tenzora naprezanja:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Stoga ima šest neovisnih komponenti u tri dimenzije. Transponiranjem obiju strana transformacije \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) i uporabom regularnosti \(\boldsymbol{F}\) pokazuje se da je i drugi PK tenzor naprezanja simetričan:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

i stoga ima šest neovisnih komponenti. Nasuprot tome, prvi PK tenzor naprezanja \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) općenito nije simetričan; vrijedi samo odnos \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (odnosno \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) je simetričan), a tenzor ima devet neovisnih komponenti.

Te simetrije osnova su za prikaz naprezanja kao šestokomponentnog vektora u Voigtovoj notaciji. Za konvencije Voigtove notacije i konstrukciju materijalnih matrica pogledajte Tenzorska notacija i matematičke osnove i Linearna elastičnost.