Gibanje, promjena oblika i deformacija¶

Referentna i trenutačna konfiguracija¶

Definicija konfiguracija¶

Kako bi se razlikovalo u odnosu na koji se oblik u vremenu opisuju fizikalne veličine, u ovom se priručniku koriste dvije konfiguracije.

Referentna konfiguracija (reference configuration): nedeformirani oblik na početku analize (u trenutku \(0\)), koji se naziva i početna konfiguracija. Točka u referentnoj konfiguraciji označuje se materijalnom koordinatom \(\boldsymbol{X}\), volumen je \(V\), a površina \(S\).
Trenutačna konfiguracija (current configuration): deformirani oblik u trenutku \(t\). Točka u trenutačnoj konfiguraciji označuje se prostornom koordinatom \(\boldsymbol{x}\), volumen je \(v\), a površina \(s\).

Gibanje se opisuje kao preslikavanje između tih dviju konfiguracija, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), a pomak se definira kao \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Oznake ovisne o konfiguraciji (velika/mala slova)¶

Veličina slova simbola razlikuje konfiguraciju kojoj fizikalna veličina pripada.

Veličine koje pripadaju referentnoj konfiguraciji pišu se velikim slovima (na primjer, \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Veličine koje pripadaju trenutačnoj konfiguraciji pišu se malim slovima (na primjer, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Za veličine koje povezuju obje konfiguracije, kao što je prvi Piola-Kirchhoffov tenzor naprezanja \(\boldsymbol{P}\), koriste se uobičajene oznake, uz pojašnjenje u tekstu prema potrebi.
U teoriji malih deformacija razlika između dviju konfiguracija nestaje, pa se koriste samo mala slova (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Gradijent u referentnoj i trenutačnoj konfiguraciji¶

Oznaka i značenje razlikuju se ovisno o konfiguraciji prema kojoj se uzima prostorna derivacija.

Gradijent u referentnoj konfiguraciji \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradijent prema materijalnim koordinatama. Primjer: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradijent u trenutačnoj konfiguraciji \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradijent prema prostornim koordinatama. Primjer: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Povezani su relacijom \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Za konvenciju vremenskih derivacija (materijalna vremenska derivacija \(\dot{(\cdot)}\)) pogledajte Tenzorska notacija i matematičke osnove.

Opis gibanja¶

Preslikavanje gibanja i materijalni/prostorni opis¶

Ako se kontinuum promatra kao skup materijalnih točaka označenih njihovim položajem \(\boldsymbol{X}\) u trenutku \(0\), gibanje se opisuje preslikavanjem \(\phi\) koje materijalnoj točki \(\boldsymbol{X}\) pridružuje njezin položaj \(\boldsymbol{x}\) u trenutku \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Prema konvenciji u kojoj je referentna konfiguracija početna konfiguracija vrijedi \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Prema izboru neovisnih varijabli razlikuju se dva opisa.

Materijalni opis (Lagrangeov opis): fizikalne veličine prikazuje kao funkcije \((\boldsymbol{X}, t)\). U mehanici čvrstih tijela to je prirodan izbor jer je referentna konfiguracija zadana kao nepomičan oblik.
Prostorni opis (Eulerov opis): fizikalne veličine prikazuje kao funkcije \((\boldsymbol{x}, t)\). To je standardni opis u mehanici fluida.

Konstrukcijska analiza u FrontISTR-u u osnovi se temelji na materijalnom opisu, ali metoda Updated Lagrange koristi i veličine prostornog opisa jer trenutačnu konfiguraciju uzima kao novu referentnu konfiguraciju.

Pomak, brzina i ubrzanje¶

Kao što je navedeno u prethodnom odjeljku, pomak \(\boldsymbol{u}\) definira se kao \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Ne postavlja se pretpostavka o njegovoj veličini, pa su obuhvaćene i konačne deformacije. Vektori brzine i ubrzanja definiraju se kao materijalne vremenske derivacije \(\boldsymbol{u}\) uz fiksnu materijalnu točku:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Time su definirani brzina i ubrzanje.

Gradijent deformacije i tenzori deformacije¶

Tenzor gradijenta deformacije¶

Temeljna veličina u mehanici kontinuuma s konačnim deformacijama jest tenzor gradijenta deformacije \(\boldsymbol{F}\). To je linearno preslikavanje koje infinitezimalni linijski element \(d\boldsymbol{X}\) u referentnoj konfiguraciji preslikava u infinitezimalni linijski element \(d\boldsymbol{x}\) u trenutačnoj konfiguraciji, a definira se kao gradijent preslikavanja gibanja prema materijalnim koordinatama:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Tako definirano (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), u nedeformiranom stanju vrijedi \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) se široko koristi za definiranje deformacije i naprezanja te za transformaciju fizikalnih veličina između konfiguracija.

Omjer promjene volumena¶

Omjer infinitezimalnog volumena \(dV\) u referentnoj konfiguraciji i odgovarajućeg infinitezimalnog volumena \(dv\) u trenutačnoj konfiguraciji naziva se omjerom promjene volumena \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Reverzibilnost kontinuuma zahtijeva \(J > 0\). Zakon očuvanja mase zapisuje se kao \(\rho_0 = J\rho\).

Desni i lijevi Cauchy-Greenov tenzor deformacije¶

Budući da gradijent deformacije \(\boldsymbol{F}\) uključuje rotaciju krutog tijela, kao mjere same deformacije koriste se veličine iz kojih je rotacija krutog tijela uklonjena. Desni Cauchy-Greenov tenzor deformacije \(\boldsymbol{C}\) (referentna konfiguracija) i lijevi Cauchy-Greenov tenzor deformacije \(\boldsymbol{b}\) (trenutačna konfiguracija) definiraju se kao

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Oba su simetrični tenzori i imaju iste svojstvene vrijednosti (kvadrate glavnih omjera istezanja). Glavne invarijante hiperelastičnih funkcija energije deformacije izražavaju se pomoću tih tenzora.

Tenzori deformacije¶

Green-Lagrangeov tenzor deformacije¶

Kao mjera deformacije u odnosu na referentnu konfiguraciju, Green-Lagrangeov tenzor deformacije \(\boldsymbol{E}\) definira se izrazom

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

To je simetrični tenzor koji opisuje promjenu skalarnog produkta infinitezimalnih vektora u referentnoj konfiguraciji, invarijantan je na rotaciju krutog tijela i u nedeformiranom stanju zadovoljava \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). Uporabom \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) dobiva se

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Tako se deformacija izražava kao zbroj članova prvog i drugog reda gradijenta pomaka; član drugog reda predstavlja geometrijsku nelinearnost. U metodi Total Lagrange koristi se kao radno konjugirani par \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Almansijev tenzor deformacije¶

Kao mjera deformacije u odnosu na trenutačnu konfiguraciju, Almansijev tenzor deformacije \(\boldsymbol{e}\) definira se izrazom

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

S Green-Lagrangeovom deformacijom povezan je izrazom \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Tenzor infinitezimalne deformacije¶

Kada je gradijent pomaka malen (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), član drugog reda Green-Lagrangeove deformacije može se zanemariti. Budući da tada nestaje razlika između dviju konfiguracija, izraz se svodi na tenzor infinitezimalne deformacije \(\boldsymbol{\varepsilon}\), pri čemu je gradijent zapisan u prostornim koordinatama:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR koristi ovu mjeru deformacije za linearnu statičku analizu, modalnu analizu, analizu frekvencijskog odziva i linearnu dinamičku analizu. U analizi konačnih deformacija metoda Total Lagrange koristi \(\boldsymbol{E}\), a metoda Updated Lagrange tenzor brzine deformacije \(\boldsymbol{D}\) u odnosu na trenutačnu konfiguraciju.