Napredne formulacije elemenata¶

Standardna formulacija temeljena na pomacima prikazana u Formulaciji 3D čvrstih elemenata pokazuje prekomjernu umjetnu krutost poznatu kao blokiranje (volumetrijsko ili posmično blokiranje) kada se primjenjuje na gotovo nestlačive materijale ili tanke konstrukcije u kojima dominira savijanje. Kako bi se to izbjeglo, FrontISTR nudi B-bar i F-bar metode, koje zamjenjuju samo volumetrijski dio B-matrice ili gradijenta deformacije; nekompatibilne elemente s unutarnjim stupnjevima slobode; u-p mješovite elemente koji tlak tretiraju kao neovisno nepoznato polje; te MITC ljuskaste i gredne elemente specijalizirane za pločaste i gredne konstrukcije.

Ovo poglavlje sažima formulacije tih naprednih i konstrukcijskih elemenata za svaku vrstu elementa.

B-bar metoda¶

Kada se 8-čvorni linearni heksaedarski element koristi za gotovo nestlačiv materijal, polje deformacije unutar jednog elementa može biti u sukobu s uvjetom konstantnog volumena, što uzrokuje prekomjernu krutost poznatu kao volumetrijsko blokiranje. B-bar metoda ublažava to prekomjerno ograničenje zamjenom komponenti B-matrice koje pridonose volumetrijskom širenju vrijednostima izračunatim u središtu elementa [Hughes1980].

U središtu elementa \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) neka je B-matrica izračunata iz prostornih derivacija funkcija oblika \(\bar{\boldsymbol{B}}\); u integracijskoj točki \(\boldsymbol{r}\) neka je uobičajena B-matrica \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). U odnosu pomak–deformacija za čvor \(\alpha\) i stupanj slobode \(i\), volumetrijske komponente deformacije \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) mijenjaju se dodavanjem

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Za posmične komponente \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) koristi se uobičajena \(\boldsymbol{B}\). Krutost elementa i vektor unutarnjih sila sastavljaju se pomoću tako dobivene B-bar matrice.

FrontISTR ovu formulaciju nudi posebno za 8-čvorni linearni heksaedarski element (ID elementa 361; vidi Sustav numeriranja elemenata), a može se primijeniti na formulacije malih deformacija, Total Lagrange i Updated Lagrange.

F-bar metoda¶

Pri konačnim deformacijama volumetrijska promjena ulazi nelinearno preko gradijenta deformacije \(\boldsymbol{F}\). F-bar metoda [deSouzaNeto1996] primjenjuje obradu volumetrijskog blokiranja analognu B-bar metodi na razini gradijenta deformacije.

Neka je omjer volumena gradijenta deformacije izračunatog u središtu elementa \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) jednak \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), a omjer volumena u integracijskoj točki jednak \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Gradijent deformacije u integracijskoj točki zamjenjuje se s

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Time se dobiva \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), pa se omjer volumena u cijelom elementu izjednačuje s vrijednošću u središtu elementa. Zamijenjeni \(\bar{\boldsymbol{F}}\) koristi se za procjenu naprezanja i konstrukciju matrice deformacija–pomak, a tangentna krutost elementa uključuje dodatne članove povezane s tom zamjenom.

FrontISTR implementira F-bar metodu posebno za 8-čvorni linearni heksaedarski element, a može se primijeniti i na male deformacije i na nelinearnu geometriju Total Lagrange / Updated Lagrange.

Nekompatibilni elementi¶

8-čvorni linearni heksaedarski element nema modove deformacije potrebne za savijanje i pokazuje blokiranje pri savijanju u problemima u kojima dominira savijanje. Nekompatibilni elementi [Taylor1976] uvode dodatne modove pomaka unutar elementa kako bi nadoknadili taj nedostatak.

Uz čvorne pomake elementa \(\boldsymbol{u}^e\), uvode se stupnjevi slobode nekompatibilnih modova \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) koji postoje samo unutar elementa, kao 3 smjera × 3 moda po elementu, a polje pomaka aproksimira se kao

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Za prirodne koordinate \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) nekompatibilne funkcije oblika uzimaju se kao \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) i \(M_3 = 1 - \zeta^2\). One ne jamče kontinuitet preko granica elementa, ali dodaju unutarnji prostor sposoban reproducirati deformacije povezane s modovima savijanja.

Krutost elementa najprije se sastavlja u blokovskom obliku vanjski DOF/unutarnji DOF

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Nakon sastavljanja u tom obliku, statička kondenzacija uklanja unutarnje stupnjeve slobode pomoću \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), čime se dobiva krutost elementa koja uključuje samo vanjske stupnjeve slobode

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

koja se prosljeđuje globalnom sastavljanju.

FrontISTR implementira nekompatibilni element posebno za 8-čvorni linearni heksaedarski element (C3D8IC), a može se primijeniti na formulacije malih deformacija, Total Lagrange i Updated Lagrange.

U-P mješoviti elementi¶

Dok B-bar i F-bar metode korigiraju volumetrijsku komponentu unutar okvira temeljenog na pomacima, u-p mješoviti (U-P) element koristi mješovitu formulaciju [Bathe1996] koja uvodi tlak \(\lambda\) kao nepoznato polje neovisno o pomaku. Kod gotovo nestlačivih materijala, poput gumastih materijala s Poissonovim omjerom vrlo bliskim 0,5 ili metala nakon plastične deformacije, nametanje uvjeta konstantnog volumena samo poljem pomaka uzrokuje volumetrijsko blokiranje; tretiranje tlaka kao neovisne varijable ublažava to ograničenje.

Naprezanje se razdvaja na devijatorsku i tlačnu komponentu kao

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Ovdje je \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) devijatorska elastična matrica dobivena uklanjanjem volumetrijskog dijela proporcionalnog modulu stišljivosti \(K\) iz elastične matrice. Tlak \(\lambda\) i volumetrijska deformacija \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) povezani su uvjetom preko kompresibilnosti \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Diskretizacija s pomakom \(\boldsymbol{u}\) i tlakom \(\lambda\) kao nepoznanicama daje spregnuti sustav elementa

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

gdje \(\mathbf{K}_{uu}\) sadrži devijatorski elastični doprinos i, za konačne deformacije, geometrijsku krutost; \(\mathbf{K}_{up}\) spaja volumetrijsku deformaciju i tlak; a \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) je stabilizacijski član tlaka (\(\boldsymbol{N}_p\) je funkcija oblika tlaka). Budući da su stupnjevi slobode tlaka unutarnji za element,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

provodi se statička kondenzacija u ovom obliku, a efektivna krutost koja uključuje samo vanjske (pomakne) stupnjeve slobode prosljeđuje se globalnom sastavljanju.

FrontISTR implementira U-P element posebno za 8-čvorni linearni heksaedarski element, s jednim stupnjem slobode tlaka po elementu (konstantnim unutar elementa). Može se primijeniti na formulacije malih deformacija, Total Lagrange i Updated Lagrange. U Updated Lagrange formulaciji devijatorsko naprezanje ažurira se objektivnom stopom naprezanja (tip Jaumann/Hughes-Winget), a tlak \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) zatim se nameće uporabom vrijednosti dobivene statičkom kondenzacijom.

Ljuskasti elementi¶

Za tankostijene pločaste i ljuskaste konstrukcije koriste se ljuskasti elementi temeljeni na Reissner-Mindlinovoj teoriji ploča/ljuski. Kako se debljina smanjuje, elementi ploča/ljuski nižeg reda temeljeni na pomacima precjenjuju poprečnu posmičnu deformaciju mehanizmom analognim volumetrijskom blokiranju (posmično blokiranje), zbog čega krutost za modove savijanja pretjerano raste. MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) metoda [Dvorkin1984] [Bathe1986] izbjegava taj problem ponovnim uzorkovanjem samo komponenti posmične deformacije u unaprijed određenim veznim točkama elementa i interpolacijom tih uzorkovanih vrijednosti natrag kroz element.

Čvorovi MITC ljuskastog elementa leže na srednjoj plohi, a svaki čvor ima šest stupnjeva slobode: tri translacijske i tri rotacijske komponente oko koordinatnog sustava normale srednje plohe. Krutost elementa izračunava se trodimenzijskom Gaussovom integracijom po prirodnim koordinatama srednje plohe i smjeru debljine, a debljina \(h\) zadaje se kao svojstvo elementa pri izračunu konstitutivnog zakona.

FrontISTR nudi MITC3 (ID elementa 731), MITC4 (741) i MITC9 (743), predstavljene jednim slojem srednje plohe, kao i slojevite ljuskaste elemente MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 čvora, 3 DOF-a po čvoru) i MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 čvora, 3 DOF-a po čvoru), čiji su čvorovi raspoređeni u dva sloja kroz debljinu. U slojevitim ljuskastim elementima čvorni stupnjevi slobode sastoje se samo od tri translacijske komponente, dok se modovi savijanja koji odgovaraju rotacijskim stupnjevima slobode predstavljaju dvoslojnim rasporedom.

Gredni elementi¶

Linijski članovi poput nosača i okvirnih konstrukcija diskretiziraju se grednim elementima. FrontISTR koristi Timoshenkovu formulaciju grede koja uzima u obzir posmičnu deformaciju i izražava i savijanje i posmik kao funkcije translacijskih i rotacijskih stupnjeva slobode.

Svaki čvor grede ima šest stupnjeva slobode: tri translacijske i tri rotacijske komponente oko osi grede i poprečnih osi. Krutost elementa izračunava se jednodimenzijskom numeričkom integracijom duž osi grede. Površina presjeka \(A\) i drugi momenti površine \(I\) u smjerovima savijanja i torzije zadaju se kao svojstva presjeka grede te zajedno s Youngovim modulom \(E\) i posmičnim modulom \(G\) materijala definiraju aksijalnu, savojnu, torzijsku i posmičnu krutost.

FrontISTR nudi 2-čvorni ravni gredni element (ID elementa 611) i 4-čvorni tetraedarski hibridni solid-greda element predstavljen s 3 čvora (641, za mješovite stupnjeve slobode).

Povezane teme¶

Formulacija 3D čvrstih elemenata — Usporedba sa standardnom formulacijom
Sustav numeriranja elemenata i biblioteka funkcija oblika — ID-ovi vrsta elemenata
Biblioteka elemenata (funkcije) — Smjernice za odabir pojedinih elemenata