Preskoči na sadržaj

Funkcije oblika za 3D čvrste elemente

Ovo poglavlje sažima sustave prirodnih koordinata i eksplicitne oblike funkcija oblika \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) uvedenih u Funkcijama oblika i aproksimaciji konačnim elementima za trodimenzionalne čvrste elemente koje FrontISTR koristi u analizi kontinuuma. Šest vrsta elemenata čine tetraedri prvog/drugog reda (341/342), trokutaste prizme prvog/drugog reda (351/352) i heksaedri prvog/drugog reda (361/362). Za redoslijed čvorova i brojeve ploha u formatu mreže HEC-MW pogledajte Biblioteku elemenata u funkcijskom priručniku.

Postupak konstruiranja integracije elementa iz ovih funkcija oblika i Jacobijeve determinante slijedi Numeričku integraciju. B-bar, F-bar i nekompatibilne formulacije za 361, kao i funkcije oblika za gredne i ljuskaste elemente, obrađene su u Naprednim formulacijama elemenata.

Sustavi prirodnih koordinata i unutarnji redoslijed čvorova

Funkcije oblika definirane su u prirodnim koordinatama \(\boldsymbol{r}\) svakog elementa. Trodimenzionalni čvrsti elementi koriste sljedeća tri sustava prirodnih koordinata ovisno o obliku elementa.

  • Heksaedri (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraedri (341/342): volumenske koordinate \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), pri čemu vrijedi \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) i \(L_i \ge 0\). Ako se \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) uzmu kao nezavisne varijable, tada je \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Trokutaste prizme (351/352): volumenske koordinate \((\xi, \eta)\) osnovnog trokuta (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) kombiniraju se s aksijalnom koordinatom \(\zeta \in [-1, 1]\) kako bi se dobilo \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Pomoćna veličina \(a = 1 - \xi - \eta\) upotrebljava se kao treća volumenska koordinata na osnovi.

Za elemente prvog reda numeriranje čvorova elementa jednako je u ulaznom formatu HEC-MW i unutarnjem formatu. Za elemente drugog reda razlikuju se pravila redoslijeda srednjih čvorova na bridovima. FrontISTR prihvaća HEC-MW format kao ulaz (najprije se navode kutni čvorovi oko elementa, zatim srednji čvorovi redoslijedom bridova 1-2, 2-3, …), dok su funkcije oblika u biblioteci elemenata implementirane uz pretpostavku drukčijeg redoslijeda čvorova.

Razlika između dvaju formata rješava se pomoću hecmw2fstr_mesh_conv, koji se poziva neposredno nakon unosa mreže i mijenja redoslijed čvorova za svaki element. Među trodimenzionalnim čvrstim elementima pretvaraju se sljedeće dvije vrste.

Vrsta elementa Tablica pretvorbe Opis
342 (tetraedar drugog reda) Table342 Mijenja redoslijed 10 čvorova u \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (trokutasta prizma drugog reda) Table352 Mijenja redoslijed 15 čvorova u \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Budući da se promjena redoslijeda provodi izravno nad poljem koje pohranjuje povezanost elemenata, svi naknadni pozivi biblioteke elemenata koriste unutarnji redoslijed čvorova FrontISTR-a. Za heksaedarski element drugog reda 362 ne postoji tablica pretvorbe jer je redoslijed srednjih čvorova u ulazu HEC-MW jednak unutarnjem formatu FrontISTR-a. Pri izlazu rezultata obrnuta pretvorba fstr2hecmw_mesh_conv prije zapisivanja vraća redoslijed čvorova HEC-MW, pa korisnik za ulaz i izlaz treba poznavati samo HEC-MW format. Brojevi čvorova u funkcijama oblika u nastavku koriste pretvoreni unutarnji format FrontISTR-a.

Funkcije oblika elemenata prvog reda

Za tetraedarski element prvog reda (341) funkcije oblika jednake su samim volumenskim koordinatama:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Za element trokutaste prizme prvog reda (351) funkcije oblika umnošci su linearnih funkcija oblika osnovnog trokuta (\(a, \xi, \eta\)) i linearnih aksijalnih funkcija oblika (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Za heksaedarski element prvog reda (361) funkcije oblika tenzorski su produkti linearnih funkcija oblika u tri koordinatna smjera:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Ovdje su \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) vrijednosti prirodnih koordinata čvora \(\alpha\) (svaka komponenta iznosi \(\pm 1\)).

Funkcije oblika elemenata drugog reda

Za tetraedarski element drugog reda (342) funkcije oblika dijele se na četiri kutna i šest srednjih čvorova na bridovima:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Srednji čvorovi 5–10 redom odgovaraju polovištima bridova 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 i 3-4.

Element trokutaste prizme drugog reda (352) sastoji se od šest kutnih čvorova, šest srednjih čvorova na bridovima trokutastih ploha i tri srednja čvora na aksijalnim bridovima:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Srednji čvorovi 7–9 odgovaraju polovištima bridova donjeg trokuta (\(\zeta = -1\)), čvorovi 10–12 polovištima bridova gornjeg trokuta (\(\zeta = +1\)), a čvorovi 13–15 polovištima aksijalnih bridova.

Heksaedarski element drugog reda (362) element je s 20 čvorova iz porodice Serendipity. Neka su vrijednosti prirodnih koordinata čvora \(\alpha\) jednake \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Za kutne čvorove (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), pri čemu je svaka komponenta \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Za srednje čvorove na bridovima (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), pri čemu je jedna od triju prirodnih koordinata jednaka \(0\), a druge dvije \(\pm 1\)), za čvorove s \(\xi_\alpha = 0\) (bridovi usmjereni u smjeru \(\xi\)) vrijedi

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Srednji čvorovi čiji je brid usmjeren duž osi \(\eta\) ili \(\zeta\) zadani su analogno, pri čemu se odgovarajuća prirodna koordinata eliminira kvadratnim članom.

Povezane teme

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status