Numerička integracija¶

Vektori unutarnjih sila elementa \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) i matrica krutosti elementa \(\boldsymbol{K}^e\), dobiveni u Diskretizaciji unutarnjeg virtualnog rada i Vanjski virtualni rad i sastavljanje globalne jednadžbe, imaju oblik integrala po domeni elementa \(\Omega^e\) ili \(\Omega^e_0\). FrontISTR ih numerički izračunava Gaussovom kvadraturom.

Gaussova kvadratura i promjena varijabli¶

Gaussova kvadratura aproksimira integral po referentnoj domeni \(\Xi\) linearnom kombinacijom vrijednosti integranda u integracijskim točkama \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) i težina \(w_i\). Primjena na domenu elementa \(\Omega^e\) uključuje promjenu varijabli preko preslikavanja \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), pa vrijedi

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

gdje je \(n_q\) broj integracijskih točaka, a \(J_{\xi_i}\) determinanta Jacobijeve matrice transformacije. Referentna domena \(\Xi\) definirana je za svaki tip elementa (za heksaedar \([-1,1]^3\); za trokute, tetraedre i klinove odgovarajući referentni oblici), a integracijske točke \(\boldsymbol{\xi}_i\) i težine \(w_i\) zadane su numeričkim tablicama. Površinski integrali obrađuju se na isti način preslikavanjem strane elementa iz dvodimenzijske referentne domene.

Reprezentativni brojevi integracijskih točaka koje koristi FrontISTR prikazani su u nastavku (za vezu s tipovima elemenata vidi Shema numeriranja elemenata i biblioteka funkcija oblika).

Tip elementa	Pravilo kvadrature	Broj integracijskih točaka
4-čvorni tetraedar (`tet4n`)	pravilo s 1 točkom	1
10-čvorni tetraedar (`tet10n`)	pravilo s 4 točke	4
6-čvorna trokutna prizma (`prism6n`)	pravilo s 2 točke	2
15-čvorna trokutna prizma (`prism15n`)	pravilo s 9 točaka	9
8-čvorni heksaedar (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-čvorni heksaedar (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-čvorni četverokut (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-čvorni četverokut (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-čvorni trokut (`tri3n`)	pravilo s 1 točkom	1
6-čvorni trokut (`tri6n`)	pravilo s 3 točke	3

Za heksaedarske, četverokutne i linijske elemente koriste se tenzorski produkti Gauss-Legendreova pravila u svakom koordinatnom smjeru. Trokuti, tetraedri i trokutne prizme koriste posebna pravila prilagođena geometrijama simpleksnog tipa (rasporedi točaka koji polinome integriraju točno po samom trokutu).

Primjena na integraciju elementa¶

Pri integraciji elementa prirodne koordinate \(\boldsymbol{r}\) koriste se kao koordinate referentne domene (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), a preslikavanje u fizičke koordinate dano je interpolacijom koordinata čvorova pomoću funkcija oblika. Ovisno o izboru referentne konfiguracije (Okvir inkrementalne analize), koriste se sljedeće formulacije.

Totalna Lagrangeova metoda (integracija po referentnoj konfiguraciji \(\Omega^e_0\)): preslikavanje i Jacobijan su

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

a unutarnja sila elementa i matrica krutosti aproksimiraju se kao

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Sve veličine \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) vrednuju se u integracijskoj točki \(\boldsymbol{r}_i\).

Ažurirana Lagrangeova metoda (integracija po trenutačnoj konfiguraciji \(\Omega^e\)): preslikavanje i Jacobijan su

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

koriste se kao aproksimacije.

Jedina razlika između dviju formulacija jest jesu li koordinate čvorova dane preslikavanju \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ili \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); integracijske točke, težine i struktura petlje po integracijskim točkama zajedničke su.

Potpuna i reducirana integracija¶

Integracija s dovoljnim brojem integracijskih točaka za točno integriranje polinomskog stupnja integranda naziva se potpuna integracija, dok se integracija s jednom razinom manje integracijskih točaka naziva reducirana integracija. Reducirana integracija koristi se za ublažavanje smičnog i volumenskog blokiranja, ali zahtijeva obradu neželjenih deformacijskih modova kao što su hourglass modovi. Broj integracijskih točaka za svaki tip elementa i izbor između potpune i reducirane integracije obrađeni su u Shemi numeriranja elemenata i biblioteci funkcija oblika i sljedećim odjeljcima te u Naprednim formulacijama elemenata.

Povezane teme¶

Prostorne derivacije funkcija oblika — izračun Jacobijana
Diskretizacija unutarnjeg virtualnog rada — veličine koje se vrednuju numeričkom integracijom
Napredne formulacije elemenata — uporaba reducirane integracije