Preskoči na sadržaj

Virtualni rad vanjskih sila i sastavljanje globalnih jednadžbi

U Diskretizaciji virtualnog rada unutarnjih sila lijeva strana slabe forme reducirana je na vektor unutarnjih sila elementa \(\boldsymbol{q}^e\) (UL metoda) ili \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL metoda). Ovo poglavlje uvodi čvorni vektor vanjskih sila elementa \(\boldsymbol{F}^e\) iz virtualnog rada vanjskih sila, a zatim primjenjuje operaciju sastavljanja, kojom se čvorne veličine elemenata preuređuju i zbrajaju prema globalnom broju čvora, čime se na kraju dobiva nelinearni sustav jednadžbi u čvornim pomacima koji rješava nelinearna strukturna analiza FrontISTR-a.

Razlaganje virtualnog rada vanjskih sila po elementima

Desna strana Principa virtualnog rada može se razložiti po elementima na virtualni rad vanjskih sila koji se sastoji od volumenskih sila i zadanih površinskih sila na mehaničkim granicama. Kako bi se interpolacija pomaka uvedena u Funkcijama oblika i aproksimaciji metodom konačnih elemenata zapisala u matričnom obliku, definira se blok \(\alpha\) \(N_\alpha^e\) s funkcijom oblika čvora \(\boldsymbol{N}_\alpha\) na dijagonali matrice \(d \times d\), te se oblikuje \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), tako da vrijedi \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Uvrštavanjem toga u virtualni rad vanjskih sila zapisan u referentnoj konfiguraciji dobiva se

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

gdje je čvorni vektor vanjskih sila elementa raspoređen kao \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Time se virtualni rad vanjskih sila reducira na isti oblik "čvorni vektor elementa × testna funkcija" kao i strana unutarnjih sila (kada se zapisuje u trenutačnoj konfiguraciji, isti oblik dobiva se zamjenama \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) i \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Sastavljanje čvornih veličina elemenata

Čvorne veličine \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) dobivene za svaki element zbrajaju se u globalne vektore poredane prema globalnom broju čvora. Neka je globalni broj čvora koji odgovara lokalnom broju čvora \(\Omega^e\) elementa \(\alpha\)

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Tada je čvorna veličina elementa jednaka odgovarajućoj komponenti globalne čvorne veličine (na primjer, \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Budući da čvor \(i_g\) općenito dijeli više elemenata, definirajmo skup parova \((e, \alpha)\) čiji je globalni broj čvora \(i_g\) kao

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Prepisivanjem sume pomoću tog skupa kao \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) dobivaju se čvorna unutarnja sila i globalni vektor unutarnjih sila za svih \(n_g\) čvorova:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Ovdje je \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) rezultanta čvornih unutarnjih sila elemenata koje djeluju u čvoru \(i_g\) i jednaka je \(\boldsymbol{0}\) kada ne djeluje vanjska sila i ravnoteža je zadovoljena. Isti postupak u UL metodi daje \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); budući da njihove numeričke vrijednosti zadovoljavaju \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), u nastavku se koristi oznaka \(\boldsymbol{Q}\) osim kada je razlikovanje potrebno. Globalni vektor vanjskih sila \(\boldsymbol{F}\) dobiva se istim zbrajanjem.

U implementaciji se skup \(\mathcal{E}(i_g)\) ne konstruira izričito; umjesto toga, doprinosi se dodaju odgovarajućim komponentama unutar petlje po elementima.

Inicijaliziraj globalni vektor unutarnjih sila Q na 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (broj elemenata)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Globalni vektor vanjskih sila \(\boldsymbol{F}\) konstruira se istim postupkom. Ova operacija dodavanja i pohranjivanja čvornih veličina elemenata u vektore i matrice numerirane globalnim brojem čvora naziva se sastavljanje. Za tenzore drugog reda povezane s dva broja čvora (kao što su matrice krutosti), ista vrsta sastavljanja dobiva se uporabom skupa \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (za konkretnu konstrukciju pogledajte Tangentnu matricu krutosti).

Nelinearne jednadžbe koje treba riješiti

Uvrštavanjem sastavljenih unutarnjih i vanjskih sila u Princip virtualnog rada, uz činjenicu da vrijedi za svaku testnu funkciju \(\delta\boldsymbol{u}^n\) koja zadovoljava geometrijske granične uvjete, dobiva se

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

U kontekstu inkrementalne analize (Okvir inkrementalne analize), vratimo vremenski indeks \(_{n+1}\) i izostavimo superskript \(^n\) koji označava globalni čvorni vektor. Jednadžba koju treba riješiti tada je

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Tako se diskretizirani rubni problem određivanja čvornog pomaka \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) u trenutku \(t_{n+1}\) reducira na rješavanje ove nelinearne jednadžbe u pomaku zajedno s geometrijskim graničnim uvjetima. Linearizacija jednadžbe i konstrukcija tangentne matrice krutosti opisane su u Tangentnoj matrici krutosti, a iteracijska metoda rješavanja u Newton-Raphsonovoj metodi.

Povezane teme

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status