Diskretizacija unutarnjeg virtualnog rada¶

Jednadžba virtualnog rada u vremenu \(t + \Delta t\) prikazana u Okvir inkrementalne analize poprima dva oblika, formulaciju ažuriranog Lagrangea i formulaciju ukupnog Lagrangea, ovisno o izboru referentne konfiguracije. U ovom poglavlju aproksimacija konačnim elementima uvedena u Funkcije oblika i aproksimacija konačnim elementima i Prostorne derivacije funkcija oblika koristi se za prostornu diskretizaciju unutarnjeg virtualnog rada obiju formulacija i dobivanje vektora unutarnjih sila elementa \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) i \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Za element \(e\) neka su sastavni čvorovi \(\alpha = 1, \ldots, n_e\); neka su pomaci \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), a vektor pomaka čvorova elementa složen kao \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Virtualni pomak \(\delta \boldsymbol{u}^e\) definira se istim redoslijedom. Pomak unutar elementa interpolira se funkcijama oblika kao \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Unutarnji virtualni rad u formulaciji ažuriranog Lagrangea¶

U formulaciji ažuriranog Lagrangea trenutačna konfiguracija \(t\) u vremenu \({}^{t}\Omega\) koristi se kao referentna konfiguracija, a unutarnji virtualni rad zapisuje se pomoću Cauchyjeva naprezanja \(\boldsymbol{\sigma}\) i linearnog dijela Almansi-jeve deformacije \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) kao

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Svaka komponenta \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) može se, koristeći koordinate trenutačne konfiguracije \(\boldsymbol{x}\), izraziti kao linearna kombinacija derivacija funkcija oblika \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) i virtualnih pomaka čvorova \(\delta u^e_{i\alpha}\). U Voigtovoj notaciji to se može objediniti kao

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Čvorni blok \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) oblikuje se raspoređivanjem \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) prema Voigtovoj konvenciji u matricu \(6 \times 3\), a \(\boldsymbol{B}_L\) je matrica deformacija-pomak za UL formulaciju. Uvrštavanjem toga u unutarnji virtualni rad i izlučivanjem \(\delta \boldsymbol{u}^e\) dobiva se

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Za \(\boldsymbol{q}^e\), čvorni blok \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) unutarnja je sila elementa \(\Omega^e\) koja djeluje na sastavni čvor \(\alpha\).

Unutarnji virtualni rad u formulaciji ukupnog Lagrangea¶

U formulaciji ukupnog Lagrangea početna konfiguracija \(\Omega_0\) koristi se kao referentna konfiguracija, a unutarnji virtualni rad zapisuje se pomoću drugog Piola-Kirchhoffova naprezanja \(\boldsymbol{S}\) i Green-Lagrangeove deformacije \(\boldsymbol{E}\) kao

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Varijacija \(\delta \boldsymbol{E}\) razdvaja se na član linearan u virtualnom pomaku i nelinearni član koji sadrži umnoške s trenutačnim gradijentom pomaka \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Linearni član može se zapisati primjenom istog pravila rasporeda kao u UL formulaciji na \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), čime se dobiva čvorni blok \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Zbog različite referentne konfiguracije samo se sastavne derivacije mijenjaju iz \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) u \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); koristi se isti simbol kao u UL formulaciji. Nelinearni član koristi umnoške trenutačnog gradijenta pomaka \(\partial u_k/\partial X_j\) i \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), raspoređene prema Voigtovoj konvenciji radi oblikovanja čvornog bloka \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Stoga vrijedi \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), a \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) je matrica deformacija-pomak za TL formulaciju. Uvrštavanjem toga u unutarnji virtualni rad dobiva se

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Čvorni blok \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) unutarnja je sila elementa \(\Omega^e_0\) koja djeluje na sastavni čvor \(\alpha\).

Odnos UL/TL i tijek izračuna¶

Vektori unutarnjih sila elementa u formulacijama ažuriranog i ukupnog Lagrangea odgovaraju si kako slijedi.

Stavka	Updated Lagrange formulacija	Total Lagrange formulacija
Referentna konfiguracija	Trenutačna konfiguracija \({}^{t}\Omega^e\)	Početna konfiguracija \(\Omega^e_0\)
Naprezanje tensor	Cauchy naprezanje \(\boldsymbol{\sigma}\)	drugi PK naprezanje \(\boldsymbol{S}\)
Deformacija variation	\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)	\(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B matrica	\(\boldsymbol{B}_L\)（\(\partial N/\partial x\)）	\(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\)（\(\partial N/\partial X\)，\(\partial u/\partial X\)）
Element unutarnja sila	\(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\)	\(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Obje se formulacije obrađuju istim postupkom: konstruira se \(\boldsymbol{B}_L\) iz prostornih derivacija funkcija oblika; u TL formulaciji konstruira se i dodaje \(\boldsymbol{B}_{NL}\) iz trenutačnog gradijenta pomaka; naprezanje (\(\boldsymbol{\sigma}\) ili \(\boldsymbol{S}\)) ažurira se prema konstitutivnom zakonu; te se \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) ili \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) numerički integrira po domeni elementa u integracijskim točkama (Numerička integracija). Osim promjene referentne konfiguracije (koordinate čvorova i konstrukcija matrice \(\boldsymbol{B}\)) i zamjene tenzora naprezanja, obrada je zajednička, pa FrontISTR implementira izračune unutarnjih sila za obje formulacije zajedničkim potprogramima. Sastavljanje vektora unutarnjih sila elemenata \(\boldsymbol{q}^e\) i \(\boldsymbol{Q}^e\) u globalni vektor unutarnjih sila obrađeno je u Vanjski virtualni rad i sastavljanje globalnih jednadžbi.

Povezane teme¶

Načelo virtualnog rada — Početna jednadžba
Okvir inkrementalne analize — Definicija TL/UL grana
Prostorne derivacije funkcija oblika — Komponente B matrice
Vanjski virtualni rad i sastavljanje globalnih jednadžbi — Prema globalnom vektoru unutarnjih sila
Tangentna matrica krutosti — Linearizacija vremenskom derivacijom unutarnje sile
Popis simbola fizikalnih veličina