Preskoči na sadržaj

Prostorne derivacije funkcija oblika

Funkcije oblika \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) uvedene u Funkcije oblika i aproksimacija konačnim elementima zadane su kao funkcije prirodnih koordinata \(\boldsymbol{r}\), koje su lokalne koordinate elementa. S druge strane, preko odnosa deformacije i pomaka integrandi u slabom obliku sadrže parcijalne derivacije po fizikalnim koordinatama (referentna konfiguracija \(\boldsymbol{X}\) ili trenutačna konfiguracija \(\boldsymbol{x}\)), odnosno \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) ili \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Ovaj odjeljak uređuje postupak izračuna tih prostornih derivacija funkcija oblika iz koordinata čvorova elementa i derivacija po prirodnim koordinatama.

Izraz prostornih derivacija pomoću lančanog pravila

Primjenom lančanog pravila na interpolacijsku formulu \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (prethodni odjeljak) i uporabom Jakobijeve matrice \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) preslikavanja iz prirodnih u fizikalne koordinate dobiva se

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Ovdje su \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) i \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) matrice u kojima redak \(\alpha\) predstavlja vektor parcijalnih derivacija za čvor \(\alpha\); svaka je matrica dimenzija \(n_e \times 3\).

Konstrukcija Jakobijeve matrice

Diferenciranjem interpolacijske formule po \(\boldsymbol{r}\) dobiva se

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Stoga se Jakobijeva matrica može izravno konstruirati iz koordinata čvorova elementa \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) i derivacija po prirodnim koordinatama \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Derivacije po prirodnim koordinatama određene su funkcijskim oblikom funkcija oblika i unaprijed su implementirane za svaku vrstu elementa.

Determinanta Jakobijeve matrice \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) koristi se u numeričkoj integraciji za transformaciju volumnog elementa kao \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Ako determinanta postane \(0\), element je degeneriran i izračun ne uspijeva.

Tijek izračuna

Iz gornjeg izvoda izračun prostornih derivacija \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) može se podijeliti u sljedeće četiri faze.

  1. Izračun derivacija po prirodnim koordinatama: koristeći vrstu elementa i prirodne koordinate \(\boldsymbol{r}\) točke evaluacije kao ulaz, izračunajte matricu derivacija po prirodnim koordinatama \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Budući da se funkcijski oblik funkcija oblika razlikuje prema vrsti elementa, obrada se grana prema vrsti elementa.
  2. Izračun Jakobijeve matrice: iz koordinata čvorova elementa \(\boldsymbol{X}^e\) i \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) sastavite Jakobijevu matricu \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) pomoću jednadžbe iz prethodnog odjeljka.
  3. Izračun inverzne matrice i determinante: izračunajte inverz \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) i determinantu Jakobijeve matrice. Determinanta se koristi u težinskom faktoru numeričke integracije.
  4. Izračun prostornih derivacija: iz \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) i \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) dobijte prostorne derivacije \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) kao njihov umnožak.

Te se četiri faze granaju prema vrsti elementa i prostornoj dimenziji (dvije ili tri dimenzije), ali je opći tijek zajednički.

Zajednička obrada referentne i trenutačne konfiguracije

Gornji se postupak može jednako primijeniti zamjenom \(\boldsymbol{X}^e\) trenutačnim koordinatama čvorova \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) kako bi se dobile prostorne derivacije \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) u trenutačnoj konfiguraciji. Tako isti postupak mogu dijeliti formulacije ukupnog i ažuriranog Lagrangea, uz promjenu samo ulaznih koordinata čvorova.

Povezane teme

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status