Funkcije oblika i aproksimacija konačnim elementima¶

Kako bi se slaba formulacija načela virtualnog rada računalno obradila, domena tijela dijeli se na konačan broj elemenata, a koordinate materijalne točke, pomak i testna funkcija unutar svakog elementa interpoliraju se iz čvornih vrijednosti i funkcija oblika. Prostorne derivacije funkcija oblika obrađene su u Prostornim derivacijama funkcija oblika, diskretizacija slabe formulacije u Diskretizaciji unutarnjeg virtualnog rada, a konkretni oblici funkcija oblika za svaku vrstu elementa u Sustavu numeriranja elemenata i biblioteci funkcija oblika i sljedećim odjeljcima.

Podjela domene i zbrojevi integrala po elementima¶

Domena \(\Omega_0\) u referentnoj konfiguraciji i domena \(\Omega\) u trenutačnoj konfiguraciji aproksimiraju se unijama elemenata \(\Omega^e_0\) odnosno \(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) je broj elementa, a granice elemenata zajedničke su susjednim elementima.) Time se volumni i plošni integrali u načelu virtualnog rada rastavljaju na zbrojeve integrala po pojedinačnim elementima:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Isto vrijedi za trenutačnu konfiguraciju zamjenama \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) i \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) U nastavku se vrednovanje slabe formulacije svodi na konstruiranje integrala za svaki element zasebno.

Interpolacija čvornim vrijednostima i funkcijama oblika (izoparametarski elementi)¶

Svakom elementu \(\Omega^e_0\) pridruženo je \(n_e\) čvorova. Neka su koordinate u referentnoj konfiguraciji i čvorni pomaci čvora elementa \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) označeni s \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Čvorni vektori elementa \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) i \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) nastaju raspoređivanjem tih vrijednosti; za element \(e\) sadrže samo komponente čvorova koji čine element, izdvojene iz globalnih čvornih vektora \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) je ukupan broj čvorova).

Uz prirodne koordinate \(\boldsymbol{r}\), koje su lokalne koordinate unutar elementa, kao parametre, funkcije oblika \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) interpoliraju materijalne koordinate, pomak i testnu funkciju unutar elementa uporabom istih funkcija oblika (izoparametarski element i Galerkinova metoda):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Funkcije oblika konstruirane su tako da zadovoljavaju sljedeća dva svojstva, a geometrija elementa bira se tako da preslikavanje \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) iz prirodnih u materijalne koordinate bude jednoznačno unutar elementa:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) je točka u prirodnim koordinatama koja odgovara čvoru \(\alpha\), a \(\delta_{\alpha\beta}\) je Kroneckerova delta.) Prva jednadžba jamči reprodukciju translacije krutog tijela, a druga da se interpolirana vrijednost u svakom čvoru podudara s čvornom vrijednošću. Konkretni oblici \(n_e\) i \(N_\alpha^e\) za svaku vrstu elementa navedeni su u Sustavu numeriranja elemenata i biblioteci funkcija oblika i sljedećim odjeljcima. Kako bi se izbjegla nezgrapna notacija, ovisnost o vrsti elementa prikazuje se gornjim indeksom \(e\) po elementu.

Uz prethodna pravila interpolacije, integrand slabe formulacije može se izraziti isključivo pomoću čvornih vrijednosti elementa \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) i \(N_\alpha^e\). Deformacija se, međutim, izvodi iz interpoliranog pomaka i odnosa deformacija–pomak, dok se naprezanje izvodi iz te deformacije i konstitutivnog zakona materijala; te se veličine ne interpoliraju izravno iz čvornih vrijednosti. Vrednuju se u integracijskim točkama unutar elementa (Numerička integracija).

Pravilo redoslijeda globalnih čvornih vektora¶

Fizikalne veličine pridružene čvorovima raspoređuju se u globalnom čvornom vektoru uzlaznim redoslijedom broj čvora → stupanj slobode. Ako se u čvoru \(\alpha\) komponenta stupnja slobode \(i\) označi s \(u_{i\alpha}\), tada u tri dimenzije (\(i=1,2,3\)) odnosno dvije dimenzije (\(i=1,2\)),

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Koordinate \(\boldsymbol{X}^n\) i testna funkcija \(\delta\boldsymbol{u}^n\) slijede isti redoslijed. U nastavku se izvodi u matričnom i vektorskom obliku pišu koristeći trodimenzionalni slučaj kao reprezentativan.

Povezane teme¶

Načelo virtualnog rada — Slaba formulacija koja se diskretizira
Prostorne derivacije funkcija oblika — Izrada Jacobijeve matrice i matrice B
Sustav numeriranja elemenata i biblioteka funkcija oblika — Funkcije oblika za svaku vrstu elementa