Puzanje¶

Ovo poglavlje opisuje konstitutivni zakon puzanja usvojen u FrontISTR-u. Pojedinosti o odabiru i specifikacijama unosa potražite u odjeljku funkcija 03_material.

Pojava puzanja i aditivna dekompozicija deformacije¶

Vremenski ovisan pomak pri uvjetu konstantnog naprezanja pojava je koja se naziva „puzanje”.

Gore opisano viskoelastično ponašanje također se može smatrati vrstom linearnog puzanja. Ovdje je opisano nekoliko nelinearnih ponašanja puzanja. Uobičajen pristup jest formulirati konstitutivni odnos dodavanjem tog ponašanja deformaciji koja nastaje trenutačno, te deformaciju nakupljenu dok određeno konstantno opterećenje traje definirati kao deformaciju puzanja \(\varepsilon^c\). Konstitutivni odnos koji uključuje puzanje obično se izražava pomoću brzine deformacije puzanja \(\dot{\varepsilon}^c\), definirane kao funkcija naprezanja i ukupne deformacije puzanja.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Ako je deformacija koja nastaje trenutačno elastična deformacija \(\varepsilon^e\), ukupna deformacija izražava se kao sljedeći zbroj koji uključuje deformaciju puzanja.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

gdje

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) je elastičnost tensor).

Nortonov zakon¶

Kao konkretan konstitutivni zakon puzanja FrontISTR koristi sljedeći Nortonov model. U tom konstitutivnom zakonu ekvivalentna brzina deformacije puzanja \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) izražava se kao funkcija von Misesova naprezanja \(q\) i vremena \(t\) kako slijedi.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Ovdje su \(A\), \(m\) i \(n\) konstante materijala.

Vremenska integracija i ažuriranje naprezanja¶

Kao i kod plastičnih materijala, za konstitutivni zakon koji pokazuje puzanje mora se zadati numerička metoda vremenske integracije. Konstitutivni odnos kada se uzima u obzir puzanje glasi

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]

\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

gdje \(\beta_{n+\theta}\) je

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Prirast deformacije puzanja \(\Delta \varepsilon^c\) zatim se definira sljedećom pojednostavljenom nelinearnom jednadžbom:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

što se postavlja na nulu.

U Newton-Raphsonovoj iteraciji, uzimajući \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) kao početno naprezanje i koristeći prirast deformacije dobiven metodom konačnih elemenata, iterativno rješenje i prirast zadani su kao

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

gdje

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

s Pri iteriranju dok rezidual \(R\) ne postane \(\mathbf{0}\), naprezanje \(\sigma_{n+1}\) i tangentni modul

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

koriste se.

Povezane teme¶

Viskoelastičnost — Viskoelastično ponašanje koje odgovara linearnom puzanju
Tangentna matrica krutosti — Tangentna krutost za inkrementalnu analizu koja uključuje puzanje
Podaci o materijalu (funkcije) — Zadavanje parametara za Nortonov model