Elastoplastičnost¶

Ovo poglavlje opisuje okvir elastoplastičnog konstitutivnog zakona koji primjenjuje FrontISTR. Za pojedinosti o odabiru i zadavanju ulaza pogledajte 03_material u odjeljku Funkcije.

Pojava (plastična deformacija)¶

TBD (bit će napisano u sljedećoj fazi).

Okvir konstitutivnog zakona¶

FrontISTR primjenjuje elastoplastičnu konstitutivnu jednadžbu temeljenu na pridruženom pravilu tečenja. Konstitutivna jednadžba izražava odnos između Jaumannove brzine Kirchhoffova naprezanja i tenzora brzine deformacije, a analiza deformacije koristi ažuriranu Lagrangeovu formulaciju.

Pretpostavimo da je uvjet tečenja elastoplastičnog materijala zadan kako slijedi.

Početni uvjet tečenja:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Naknadni uvjet tečenja:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

gdje

\(F\): funkcija tečenja
\(\sigma_{y_0}\): početno naprezanje tečenja
\(\sigma_y\): naknadno naprezanje tečenja
\(\sigma\): tenzor naprezanja
\(e\): tenzor infinitezimalne deformacije
\(e^p\): tenzor plastične deformacije
\(\overline{e}^p\): ekvivalentna plastična deformacija

Pretpostavlja se da se odnos naprezanja tečenja i ekvivalentne plastične deformacije podudara s odnosom naprezanja i plastične deformacije u jednoosnom stanju.

Odnos naprezanje–plastična deformacija u jednoosnom stanju

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

gdje je \(H'\) modul deformacijskog očvršćivanja.

Odnos ekvivalentno naprezanje–ekvivalentna plastična deformacija

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Općenito je naknadna funkcija tečenja funkcija temperature i rada plastične deformacije, ali se radi jednostavnosti ovdje pretpostavlja da je funkcija samo ekvivalentne plastične deformacije \(\overline{e}^p\). Tijekom razvoja plastične deformacije mora i dalje vrijediti \(F = 0\), pa mora biti zadovoljena sljedeća jednadžba.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Ovdje \(\dot{F}\) označava vremensku derivaciju od \(F\). U nastavku se vremenska derivacija veličine \(A\) označava s \(\dot{A}\).

Pretpostavimo postojanje plastičnog potencijala \(\Theta\) i izrazimo brzinu plastične deformacije sljedećom jednadžbom.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Ovdje je \(\dot{\lambda}\) koeficijent.

Nadalje, uz pretpostavku da je plastični potencijal \(\Theta\) jednak funkciji tečenja \(F\), primjenjuje se sljedeće pridruženo pravilo tečenja.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Uvrštavanjem ove jednadžbe u uvjet konzistentnosti dobiva se sljedeća jednadžba.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Ovdje je \(D\) matrica elastičnosti, a

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Elastoplastični odnos naprezanje–deformacija može se zapisati kako slijedi.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Kada je poznata funkcija tečenja \(F\) elastoplastičnog materijala, njegova se konstitutivna jednadžba dobiva iz ovog izraza.

Funkcije tečenja¶

Elastoplastične funkcije tečenja koje primjenjuje FrontISTR navedene su u nastavku.

Von Misesova funkcija tečenja¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Ovdje je \(J_2\) druga invarijanta devijatorskog tenzora naprezanja.

Mohr-Coulombova funkcija tečenja¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Ovdje su \(\sigma_1, \sigma_3\) najveće i najmanje glavno naprezanje, \(c\) je kohezija, a \(\phi\) kut unutarnjeg trenja.

Drucker-Pragerova funkcija tečenja¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Ovdje se materijalne konstante \(\alpha\) i \(\sigma_y\) izračunavaju iz kohezije materijala i kuta trenja kako slijedi.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Povezane teme¶

Linearna elastičnost — Elastični odziv (elastični dio elastoplastičnosti)
Tangentna matrica krutosti — Tangentna krutost za inkrementalnu analizu koja uključuje nelinearnost materijala
Podaci o materijalu (funkcije) — Mogućnosti i odabir funkcija tečenja i zakona očvršćivanja