Preskoči na sadržaj

Linearna elastičnost

Ovo poglavlje obrađuje konstitutivni zakon (Hookeov zakon) za linearno elastične materijale. Za pojedinosti o odabiru modela i specifikacijama ulaza pogledajte odjeljak funkcija 03_material.

Pojava (linearni elastični odziv)

Linearno elastično tijelo je materijal koji, u području u kojem je deformacija pod opterećenjem dovoljno mala, pokazuje linearnu vezu između naprezanja i deformacije te reverzibilan odziv neovisan o povijesti, pri kojem se sva deformacija nakon rasterećenja vraća u početno stanje. Za razliku od plastičnosti ili puzanja, nema unutarnjih varijabli koje predstavljaju stanje (poput plastične ili viskozne deformacije), a naprezanje je jednoznačno određeno isključivo trenutačnom deformacijom.

U području malih deformacija koriste se Cauchyjevo naprezanje \(\boldsymbol{\sigma}\) i infinitezimalna deformacija \(\boldsymbol{\varepsilon}\); u području konačnih deformacija (problemi koji uključuju velike rotacije, ali u kojima je sama deformacija mala) koriste se drugo Piola-Kirchhoffovo naprezanje \(\boldsymbol{S}\) i Green-Lagrangeova deformacija \(\boldsymbol{E}\) (St.Venant-Kirchhoffov materijal).

Konstitutivni zakon

Izotropni linearno elastični materijal

U području malih deformacija izotropni Hookeov zakon izražava se pomoću Laméovih konstanti \(\lambda, \mu\) kao

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

U komponentnom obliku,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

a dvostruka kontrakcija s deformacijom daje \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Laméove konstante povezane su s Youngovim modulom \(E\) i Poissonovim omjerom \(\nu\) na sljedeći način:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

U Voigtovoj notaciji veza između vektora deformacije \(\hat{\varepsilon}\) i vektora naprezanja \(\hat{\sigma}\) zapisuje se kao \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), a trodimenzijska materijalna matrica \(D\) je

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Ovaj matrični prikaz koristi se u implementaciji.

Ortotropni linearno elastični materijal

Za materijale čije se elastične konstante razlikuju ovisno o smjeru glavnih osi koristi se ortotropni model s devet neovisnih konstanti: Youngovi moduli u smjerovima glavnih osi \(E_1, E_2, E_3\), Poissonovi omjeri između glavnih osi \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) i moduli posmika \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Za eksplicitni oblik matrice \(D\) pogledajte standardnu literaturu.

Područje konačnih deformacija: St.Venant-Kirchhoffov materijal

Za probleme koji uključuju velike rotacije, ali u kojima je sama deformacija mala, koristi se St.Venant-Kirchhoffov materijal kao linearno elastični zakon koji povezuje drugo Piola-Kirchhoffovo naprezanje \(\boldsymbol{S}\) i Green-Lagrangeovu deformaciju \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Definicije Laméovih konstanti \(\lambda, \mu\) iste su kao u slučaju malih deformacija. Međutim, budući da se definicije para naprezanje–deformacija razlikuju, to je konstitutivni zakon različit od Hookeova zakona za male deformacije.

Hipoelastični materijal

U Updated Lagrange metodi koristi se hipoelastični materijal koji usvaja linearno elastični zakon između Jaumannove stope relativnog Kirchhoffova tenzora naprezanja \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) i tenzora brzine deformacije \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

I ovdje je definicija \(\boldsymbol{C}\) preko Laméovih konstanti ista kao gore, ali budući da se par naprezanje–deformacija razlikuje, riječ je o drukčijem konstitutivnom zakonu. Za pojedinosti o tome kako se \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) ažurira postupkom vremenske integracije (Eulerova metoda unaprijed i aproksimacija središnjom razlikom), pogledajte tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Redukcija za dvodimenzijsku analizu i ljuskaste elemente

Ravno naprezanje (\(\sigma_{33} = 0\))

Za ravno naprezanje, koje predstavlja opterećenje tankih ploča i ljuski, pretpostavlja se \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\), a koristi se \(D\) u kojem je izvanravninska komponenta deformacije \(\varepsilon_{33}\) algebarski eliminirana:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Ravna deformacija (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Za ravnu deformaciju, koja predstavlja presjek duge konstrukcije ograničene u smjeru debljine, pretpostavlja se \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Osnosimetrično

U osnosimetričnoj analizi, koja razmatra probleme jednolike u smjeru \(\theta\) u cilindričnim koordinatama \((r, \theta, z)\), zadržavaju se četiri komponente \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) i \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), te se

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

dobiva.

Ljuskasti elementi (ravno naprezanje + poprečni posmik)

Za ljuskaste elemente ravninsko naprezanje tretira se kao ravno naprezanje, a za komponente poprečne posmične deformacije \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) koristi se \(\kappa\, G\) s faktorom korekcije posmika \(\kappa\) (općenito \(\kappa = 5/6\)). Za detaljnu formulaciju svakog elementa pogledajte Napredne formulacije elemenata. Navod u odjeljku funkcija 03_material da "ljuskasti elementi podržavaju samo linearnu elastičnost" temelji se na ovom pojednostavljenju u kojem se ravninsko stanje tretira kao ravno naprezanje.

Ovisnost o temperaturi

Youngov modul \(E\), Poissonov omjer \(\nu\) i koeficijent linearnog širenja \(\alpha\) općenito se zadaju kao funkcije temperature \(T\). U FrontISTR-u se vrijednosti unose za konačan niz temperaturnih točaka \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), a temperatura \(T\) tijekom izračuna vrednuje se linearnom interpolacijom između susjednih točaka. Za temperature izvan raspona (\(T < T_1\) ili \(T > T_n\)) za ekstrapolaciju se koristi vrijednost najbližeg krajnjeg čvora, \(T_1\) ili \(T_n\) (konstantna ekstrapolacija).

Za temperaturnu ovisnost toplinskih svojstava i svojstava provođenja topline (gustoća, specifični toplinski kapacitet i toplinska vodljivost) pogledajte Toplinska svojstva. Pravila interpolacije zajednička su tim svojstvima.

Povezane teme

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status