Preskoči na sadržaj

Linearna elastična statička analiza (uvod)

Ovaj odjeljak prikazuje formulaciju elastične statičke analize temeljene na teoriji infinitezimalnih deformacija. Za odnos naprezanje–deformacija pretpostavlja se linearna elastičnost. Poglavlje je zamišljeno kao uvod u razumijevanje cjelokupne strukture strukturne analize konačnim elementima i organizirano je kao samostalna cjelina.

Za opću teoriju načela virtualnog rada (oblik u trenutačnoj konfiguraciji, oblik u početnoj konfiguraciji i redukciju na infinitezimalne deformacije) pogledajte Načelo virtualnog rada; za pojedinosti linearno elastičnog konstitutivnog zakona pogledajte Linearnu elastičnost; za pravila tenzorske i Voigtove notacije pogledajte Tenzorsku notaciju i matematičke osnove; za opću formulaciju konačnih deformacija pogledajte Gibanje, deformacija i deformacija tijela; a za metode rješavanja nelinearnih problema pogledajte Tangentnu matricu krutosti.

Osnovne jednadžbe

Uz pretpostavke infinitezimalne deformacije i linearne elastičnosti, rubni problem u mehanici čvrstih tijela sastoji se od jednadžbe ravnoteže, mehaničkih rubnih uvjeta i geometrijskih rubnih uvjeta (esencijalnih rubnih uvjeta) (vidi sliku 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Ovdje je \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchyjevo naprezanje, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) volumna sila po jedinici volumena, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) zadana površinska sila, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) zadani pomak, a \(S_t, S_u\) mehanička i geometrijska granica.

Rubni problem u mehanici čvrstih tijela (problem infinitezimalnih deformacija)

Slika 2.1.1 Rubni problem u mehanici čvrstih tijela (problem infinitezimalnih deformacija)

Uporabom operatora simetričnog gradijenta, odnos deformacija–pomak glasi

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Linearno elastična konstitutivna jednadžba glasi

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

gdje je \(\boldsymbol{C}\) tenzor elastičnosti četvrtog reda.

Načelo virtualnog rada

Opći oblici načela virtualnog rada (oblik u trenutačnoj konfiguraciji, oblik u početnoj konfiguraciji i redukcija na infinitezimalne deformacije) sažeti su u Načelu virtualnog rada. Uz pretpostavke infinitezimalne deformacije i linearne elastičnosti slaba formulacija glasi

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Uvrštavanjem konstitutivne jednadžbe \eqref{eq:2.1.5} i zapisivanjem \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) u Voigtovoj notaciji dobiva se oblik koji se izravno upotrebljava za diskretizaciju:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

gdje je \(D\) matrica elastičnosti definirana u Linearnoj elastičnosti. Jednadžbe \eqref{eq:2.1.10} i \eqref{eq:2.1.7} čine načelo virtualnog rada koje se u nastavku diskretizira.

Diskretizacija i sastavljanje globalne jednadžbe

Diskretizacijom načela virtualnog rada iz jednadžbe \( \eqref{eq:2.1.10} \) po konačnim elementima dobiva se

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Za svaki element polje pomaka interpolira se pomoću pomaka čvorova koji čine element kako slijedi.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Deformacija se zatim pomoću jednadžbe \(\eqref{eq:2.1.4}\) zadaje kako slijedi.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Uvrštavanjem jednadžbi \(\eqref{eq:2.1.12}\) i \(\eqref{eq:2.1.13}\) u jednadžbu \(\eqref{eq:2.1.11}\) dobiva se

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Jednadžba \(\eqref{eq:2.1.14}\) može se zapisati kao

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Ovdje se komponente matrice i vektora definirane jednadžbama \(\eqref{eq:2.1.16}\) i \(\eqref{eq:2.1.17}\) mogu izračunati za svaki konačni element i sastaviti superpozicijom.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Budući da jednadžba \(\eqref{eq:2.1.15}\) vrijedi za proizvoljan virtualni pomak \(\delta \boldsymbol{U}\), dobiva se sljedeća jednadžba.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Istodobno se rubni uvjet pomaka iz jednadžbe \(\eqref{eq:2.1.3}\) izražava kako slijedi.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Rješavanjem jednadžbe \(\eqref{eq:2.1.18}\) uz uvjet ograničenja iz jednadžbe \(\eqref{eq:2.1.19}\) može se odrediti čvorni pomak \(\boldsymbol{U}\).

Vidi također

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status