Nelinearne iteracije i vremenska integracija¶

FrontISTR napreduje rješenje kombiniranjem nelinearnih iteracija i vremenske integracije u svakom podkoraku unutar inkrementnog upravljanja svakog koraka. Ova stranica opisuje iteracijske strukture između vanjskog upravljanja koracima i unutarnjeg linearnog rješavača: Newton-Raphsonove iteracije, kontaktne iteracije, vremensku integraciju dinamičke analize te okvir napredovanja vremena i nelinearnih iteracija u nestacionarnom provođenju topline.

Pregled¶

Nelinearno rješavanje i vremenska integracija unutar koraka imaju ugniježđenu strukturu s više petlji od vanjske prema unutarnjoj. Svaka razina ima sljedeću ulogu.

Koje će se od tih razina pojaviti ovisi o vrsti analize.

Za odabir same vrste i algoritma kontakta pogledajte Kontakt i ugrađivanje. Ova stranica opisuje kako je odabrani algoritam organiziran kao iteracijska petlja.

Odabir sheme rješavanja¶

Iteracijska struktura automatski se određuje prema odabranoj vrsti analize (Vrste analize), prisutnosti ili odsutnosti nelinearnosti (geometrijska nelinearnost, materijalna nelinearnost ili kontakt) i kontaktnom algoritmu (SLAGRANGE ili ALAGRANGE). Korisnik izravno podešava gornje granice broja iteracija i kriterije konvergencije.

Za podešavanje vrijede sljedeće smjernice.

• Za standardne analize zadana gornja granica broja iteracija uglavnom je dovoljna. Ako problem koji teško konvergira dosegne najveći broj iteracija bez konvergencije, najprije upotrijebite cutback (Upravljanje koracima); gornju granicu povećajte samo ako to ne poboljša konvergenciju.
• Kriterije konvergencije prilagodite ravnoteži između stabilnosti analize i vremena računanja. Stroži kriteriji povećavaju točnost ravnoteže, ali i broj iteracija. U kontaktnim analizama i analizama s Lagrangeovim multiplikatorima stabilnost se može poboljšati kombiniranjem kriterija inkrementa pomaka ili Lagrangeova kriterija s kriterijem reziduala.
• Za parametre vremenske integracije u dinamičkoj analizi (koeficijente Newmark-β) započnite standardnom kombinacijom vrijednosti i prilagodite ih kada želite promijeniti svojstva numeričkog prigušenja vibracijskog odziva.
• Za shemu vremenske integracije nestacionarnog provođenja topline koristite Crank-Nicolson za probleme s glatkim promjenama temperature, a Backward Euler kada su važnije nagle promjene ili dugoročna stabilnost.

Newton-Raphsonova iteracija u statičkoj analizi¶

U nelinearnoj statičkoj analizi jednadžbe ravnoteže koje uključuju geometrijsku ili materijalnu nelinearnost rješavaju se iteracijski Newton-Raphsonovom metodom. Svaka iteracija odvija se sljedećim redoslijedom.

1. Procijenite vektor reziduala \(\boldsymbol{R}\) za trenutačno rješenje.
2. Sastavite tangentnu matricu krutosti \(\boldsymbol{K}_T\).
3. Riješite linearni sustav \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) kako biste dobili korekciju pomaka \(\Delta \boldsymbol{u}\).
4. Ažurirajte rješenje kao \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. Usporedite s kriterijima konvergencije. Ako je konvergencija postignuta, završite iteraciju; u suprotnom se vratite na korak 1.

Linearni rješavač obavlja rješavanje linearnog sustava (korak 3). Za odabir rješavača i predkondicionera pogledajte Rješavač i predkondicioniranje.

Iteracijom se upravlja parametrima upravljanja korakom u !STEP. Glavne upravljačke vrijednosti su sljedeće.

Najveći broj Newtonovih iteracija na koji se pozivaju odluke o automatskom inkrementu i na cutback u Upravljanju koracima označuje broj Newtonovih iteracija opisanih na ovoj stranici. Automatsko upravljanje inkrementom povećava vremenski inkrement nakon podkoraka koji je konvergirao u malo iteracija, a smanjuje ga nakon podkoraka koji je zahtijevao mnogo iteracija.

Kontaktna iteracija u statičkoj analizi¶

U kontaktnoj analizi kontaktno se stanje mijenja tijekom iteracije zbog kontakta, odvajanja i klizanja na kontaktnim plohama, pa se Newtonova iteracija kombinira s ažuriranjem kontaktnog stanja. Struktura ovisi o algoritmu rješavanja kontakta.

Oba algoritma na najvanjskoj razini imaju petlju pretraživanja kontaktnog stanja. U svakom prolazu te petlje kontaktno stanje (kontakt/odvajanje) ponovno se procjenjuje nakon konvergencije unutarnje Newtonove iteracije. Ako se stanje promijenilo, ažurira se struktura matrice krutosti i unutarnja iteracija ponovno se izvodi. Petlja završava kada kontaktno stanje ostane nepromijenjeno u odnosu na prethodni prolaz i zadovoljeni su kriteriji konvergencije kontakta (kriteriji kontaktne sile i Lagrangeova multiplikatora). Gornja granica broja prolaza zadaje se s MAXCONTITER u !STEP.

Kod kontakta SLAGRANGE, stupnjevi slobode kontakta uključuju se u linearni sustav standardnom metodom Lagrangeovih multiplikatora, čime nastaje dvoslojna struktura u kojoj je Newtonova iteracija izravno unutar petlje pretraživanja kontaktnog stanja. Nema iteracije proširenog Lagrangea.

Kod kontakta ALAGRANGE unutar petlje pretraživanja kontaktnog stanja dodaje se iteracija proširenog Lagrangea, a unutar nje izvodi Newtonova iteracija, pa nastaje troslojna struktura. U svakoj iteraciji proširenog Lagrangea kontaktno se ograničenje ponovno procjenjuje kombinacijom penalizacijskog člana i Lagrangeova multiplikatora, čime se postupno poboljšava točnost ograničenja. Gornja granica broja iteracija proširenog Lagrangea zadaje se s AUGITER u !CONTACT_ALGO.

Upravljačke vrijednosti kontaktne iteracije su sljedeće.

Broj kontaktnih iteracija na koji se pozivaju odluke o automatskom inkrementu u Upravljanju koracima označuje broj ovdje opisanih iteracija, uključujući ažuriranja kontaktnog stanja. Analize u kojima se često pojavljuju kontakt i odvajanje obično zahtijevaju više kontaktnih iteracija, što utječe i na odluke o automatskom inkrementu i na cutback. Za vrste kontakta, definicije parova i odabir algoritma pogledajte Kontakt i ugrađivanje. Za rješavanje linearnog sustava koji sadrži kontaktne stupnjeve slobode pogledajte Rješavač i predkondicioniranje.

Vremenska integracija u dinamičkoj analizi (implicitna metoda)¶

Implicitna metoda dinamičke analize koristi Newmark-β metodu kako bi u svakom vremenskom koraku povezala pomak, brzinu i ubrzanje u sljedećem trenutku te ih kombinirala s jednadžbom gibanja radi dobivanja stanja u vremenu \(t + \Delta t\). Ograničenje stabilnosti za vremenski korak \(\Delta t\) blago je, pa se učinkovito mogu rješavati konstrukcijski odzivi kojima dominiraju niskofrekvencijske komponente.

Koriste se sljedeća dva parametra vremenske integracije.

Kombinacija \(\beta = 1/4\) i \(\gamma = 1/2\) naziva se metodom prosječnog ubrzanja i standardan je izbor koji je bezuvjetno stabilan i nema numeričko prigušenje. Za uvođenje numeričkog prigušenja odaberite \(\gamma\) veći od \(1/2\). Za matematičke pojedinosti kombinacija parametara, stabilnosti i svojstava pogreške pogledajte teorijski priručnik.

Kada je uključena nelinearnost (geometrijska nelinearnost, materijalna nelinearnost ili kontakt), Newtonova se iteracija izvodi unutar svakog vremenskog koraka; unutar iteracije rješava se linearni sustav i ažurira stanje. Kriteriji konvergencije koriste CONVERG i povezane vrijednosti zajedničke sa statičkom analizom. U dinamičkoj analizi s kontaktom ista iteracijska struktura kao u Kontaktnoj iteraciji u statičkoj analizi ugrađena je u svaki vremenski korak.

Vremenskim korakom u dinamičkoj analizi prvenstveno upravljaju vremenski uvjeti u !STEP. Kod fiksnih inkremenata !STEP zadaje DTIME kao vremenski korak, a ETIME kao trajanje koraka. Vrijednosti n_step i t_delta u !DYNAMIC tretiraju se kao zadane kada je !STEP izostavljen i radi kompatibilnosti unatrag. U nelinearnoj implicitnoj metodi !STEP s INC_TYPE=AUTO omogućuje automatske inkremente i cutback, povećavajući ili smanjujući vremenski korak prema stanju Newtonovih i kontaktnih iteracija. Bez obzira koriste li se fiksni ili automatski inkrementi, vremenski korak postavite uzimajući u obzir i konvergenciju i potrebnu točnost.

Vremenska integracija u dinamičkoj analizi (eksplicitna metoda)¶

Eksplicitna metoda dinamičke analize koristi metodu središnjih razlika za izravno izračunavanje stanja u sljedećem trenutku samo iz podataka o pomaku, brzini i ubrzanju u prethodnom trenutku. Budući da se ne rješava sustav simultanih jednadžbi, trošak računanja po koraku je malen. Čak i kada je uključena nelinearnost, svaki vremenski korak predstavlja jednostupanjsko ažuriranje bez Newtonove iteracije.

Vremenski korak ima gornju granicu nametnutu uvjetom stabilnosti temeljenim na najmanjem vlastitom periodu sustava (CFL uvjet). Vremenski korak iznad te granice uzrokuje divergenciju numeričkog rješenja, pa se ne mogu koristiti veliki vremenski koraci kao kod implicitne metode. Eksplicitna metoda pogodna je za pojave poput udara, širenja valova i brzog kontakta, kod kojih su mali vremenski koraci ionako potrebni.

Kada je uključen kontakt, kontaktna ograničenja nameću se metodom Forward Increment Lagrange. Kontaktne sile procjenjuju se na način usklađen s jednostupanjskim ažuriranjem eksplicitne metode.

Metoda rješavanja analize frekvencijskog odziva¶

Analiza frekvencijskog odziva izravno određuje periodički stacionarni odziv u frekvencijskoj domeni metodom modalne superpozicije. Odziv se procjenjuje uz promjenu frekvencije pobude i nije potrebno iteracijski pratiti vremensku povijest. Ne provode se ni nelinearne iteracije ni vremenska integracija.

Prije izvođenja analize frekvencijskog odziva mora se za isti sustav provesti modalna analiza i izdvojiti potreban broj vlastitih modova. Podržani su samo linearni modeli; analiza se ne može izvesti kada je omogućena geometrijska ili materijalna nelinearnost. Za položaj ove vrste analize pogledajte Vrste analize.

Napredovanje vremena i nelinearne iteracije u nestacionarnom provođenju topline¶

Nestacionarno provođenje topline ima vlastitu vremensku petlju koja je u cijelosti sadržana u !HEAT. Vremenskim korakom upravlja putem odvojenim od !STEP i !AUTOINC_PARAM konstrukcijske analize, a kada svojstva materijala ovise o temperaturi, nelinearna iteracija izvodi se unutar svakog vremenskog koraka.

Shema vremenske integracije odabire se parametrom \(\beta\) u !HEAT.

Vremenskim korakom upravlja se prilagodljivo kombiniranjem početnog vremenskog koraka, najmanjeg vremenskog koraka i najveće promjene temperature po koraku. Ako nakon izračuna u vremenskom koraku promjena temperature premaši DELTMX, vremenski se korak smanjuje i korak ponovno računa. Analiza se prekida ako vremenski korak padne ispod najmanjeg vremenskog koraka DTMIN.

Kada svojstva materijala ovise o temperaturi, nelinearna iteracija izvodi se unutar svakog vremenskog koraka. Iteracijom se upravlja kako slijedi.

Stacionarno provođenje topline ne koristi vremenske korake; samo se nelinearna iteracija izvodi kada svojstva materijala ovise o temperaturi. Budući da je vremensko upravljanje analizom provođenja topline neovisno o !STEP konstrukcijske analize, pri podešavanju vremenskog koraka provjerite postavke !HEAT.

Povezane teme¶

• Vrste analize — Položaj svake vrste analize.
• Kontakt i ugrađivanje — Odabir vrsta kontakta, definicija parova i algoritama rješavanja.
• Rješavač i predkondicioniranje — Rješavanje sustava linearnih simultanih jednadžbi koji se poziva unutar Newtonove iteracije.
• Upravljanje koracima — Vanjsko upravljanje koracima/podkoracima te automatski inkrementi i cutback.
• Newton-Raphsonova metoda (teorija) — Formulacija iteracijske metode rješavanja.
• Kriteriji konvergencije (teorija) — Matematičke definicije pokazatelja konvergencije.
• Metode dinamičke analize (teorija) — Formulacija Newmark-β metode i metode središnjih razlika.
• Nestacionarna analiza provođenja topline (teorija) — Formulacija vremenske integracije za provođenje topline.
• Kontaktna analiza (teorija) — Formulacija metode Lagrangeovih multiplikatora.
• Referenca ključnih riječi: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.