Joan zuzenean edukira

Muga-baldintza geometrikoen tratamendua

Newton-Raphson metodoak iterazio bakoitzean \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) ekuazio lineala ebazten du, baina muga-baldintza geometrikoak (desplazamendu-murriztapenak) oraindik ez daude ekuazio horretan txertatuta. Kapitulu honetan azaltzen da nola aldatu zurruntasun-matrizea \(\boldsymbol{K}\) eta hondar-bektorea \(\boldsymbol{R}\), \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) desplazamendu-murriztapena duten askatasun-graduetan iterazioaren ondorengo desplazamenduak agindutako balioa lor dezan. Puntu anitzeko murriztapenak (MPC) eta kontaktuarekin lotutako murriztapen ez-linealak beste prozedura baten bidez tratatzen dira; ikus puntu anitzeko murriztapenak eta kontaktua.

Desplazamendu-murriztapenak aldagai ezezagun gisa mantentzeko irizpidea

Muga-baldintza geometrikoa duen nodoaren desplazamendua ez da jada aldagai ezezaguna, baizik eta \(\bar{u}_i\) balio aginduan finkatuta dago. Askatasun-gradu horiek konstante gisa hartu eta \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) ekuazio linealetik ezabatu litezke; hala ere, FrontISTR-k murriztapena ezartzen du \(\boldsymbol{K}\) eta \(\boldsymbol{R}\) aldatuz, murriztutako askatasun-graduak \(d\boldsymbol{u}\) zuzenketa-bektorean gainerako askatasun-graduen modu berean mantenduta.

Ikuspegi horrekin, koefiziente-matrizearen dimentsioa eta askatasun-graduen ordena ez dira aldatzen murriztapenak egon ala ez; beraz, ez da beharrezkoa aldagaiak ezabatu eta hutsik geratutako errenkadak eta zutabeak berriro trinkotzea. Koefiziente-matrizea matrize sakabanatu gisa gordetzen den inplementazio batean trinkotze hori konplexua denez, FrontISTR-k bigarren ikuspegia erabiltzen du, murriztapena koefiziente-matrizea eta eskuineko aldea eguneratuz soilik ezartzeko.

Newton-Raphson zuzenketaren helburu-balioa

Desplazamendua murriztuta duen \(i\) askatasun-gradurako, Newton-Raphson iterazioan lortutako \(du_i\) zuzenketa honela izatea nahi da:

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1. iterazioa}) \\ 0 & (\text{2. iteraziotik aurrera}) \end{cases} \]

Aldatu \(\boldsymbol{K}\) eta \(\boldsymbol{R}\) zuzenketak balio hori izan dezan. Horren ondorioz, lehen iterazioan desplazamendu-gehikuntzak \(\bar{u}_i\) balio agindua lortzen du, eta bigarren iteraziotik aurrera zuzenketa \(0\) bihurtzen da eta balio agindua mantentzen da.

Matrizea eta hondar-bektorea aldatzeko prozedura

Aurreko atalean ezarritako helburu-balioa honako bi aldaketen bidez lortzen da, \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) ekuazio linealaren forma mantenduta.

  1. \(i\) errenkadaren diagonalizazioa: \(du_i\)-ren koefizientea den \(K_{ii}\) termino diagonala \(1\)-ez ordezkatu, gainerako \(K_{ij}\ (j \not= i)\) koefiziente guztiak \(0\)-z ordezkatu, eta eskuineko aldea \(R_i \to d\bar{u}_i\) ezarri. Horrela, \(i\) errenkadako ekuazioa \(du_i = d\bar{u}_i\) bihurtzen da.
  2. \(j(\not= i)\) errenkadetatik lekualdatzea: \(j(\not= i)\) errenkada bakoitzean, \(K_{ji} \not= 0\) bada, \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) terminoa eskuineko aldera eramaten da. Hau da, eskuineko aldetik \(K_{ji} d\bar{u}_i\) kentzen da eta \(du_i\)-ren \(K_{ji}\) koefizientea \(0\) ezartzen da.

Osagaien adierazpenean, aldaketaren aurreko eta ondorengo ekuazioek honako korrespondentzia dute.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Aldatutako koefiziente-matrizea eta eskuineko aldea, hurrenez hurren, \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) gisa adieraziz, azkenik ebatzi beharreko ekuazio lineala hau da:

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

Murriztutako askatasun-gradu bat baino gehiago badago, goiko 1. eta 2. aldaketak hurrenez hurren aplikatzen zaizkio murriztutako \(i\) askatasun-gradu bakoitzari.

Matrize sakabanatuaren inplementazioan prozesatutako eremua

Inplementazioan, \(\boldsymbol{K}\) koefiziente-matrizea matrize sakabanatu gisa gordetzen da. Horregatik, aurreko ataleko 2. prozedurako \(j(\not= i)\) errenkaden tratamendua \(i\) zutabean zero ez diren osagaiak dituzten errenkadetan soilik egiten da, hau da, elementuen bidez murriztutako \(i\) askatasun-graduarekin lotuta dauden nodoen askatasun-graduetan. Loturarik gabeko askatasun-graduetan \(K_{ji} = 0\) denez, terminoa lekualdatzeak ez du eskuineko aldea aldatzen. Muga horri esker, murriztapenen tratamendua eragiketa lokalekin soilik osa daiteke nodo kopuru osoarekiko.

Lotutako gaiak

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status