Joan zuzenean edukira

Bero-eroapen iragankorraren analisia

Elementu finituen metodoaren (Finite Element Method) bidez solido baten bero-eroapenaren analisian erabiltzen diren denbora-diskretizazioa eta iterazio bidezko ebazpena azaltzen dira. Jarraituko ekuazio gobernatzaileak eta muga-baldintzak ikusteko, ikus Bero-eroapenaren ekuazioa.

Ekuazio diskretizatua (abiapuntua)

Bero-eroapenaren ekuazioa (Bero-eroapenaren ekuazioa (gov_he_main)) Galerkin metodoaren bidez diskretizatzen denean,

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

non,

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Hemen, \(K\), \(M\), \(F\) eta \(N\), hurrenez hurren, bero-eroapenaren matrizea (mugako konbekzio- eta erradiazio-ekarpenak barne), masa-matrizea, bero-kargaren bektorea eta forma-funtzioen matrizea dira. Propietate fisikoen ikurren (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\), etab.) definizioak Bero-eroapenaren ekuazioa atalean emandakoak dira.

Denbora-diskretizazioa eta iterazio bidezko ebazpena

\(\eqref{eq:2.4.8}\) ekuazioa ez-lineala eta iragankorra da. Orain, denboran atzeranzko Euler metodoaren bidez diskretizatzen da; \(t=t_0\) uneko tenperatura ezaguna denean, \(t=t_0+\Delta t\) uneko tenperatura honako ekuazioa erabiliz kalkulatzen da.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Demagun \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) tenperatura-bektoreak \(\eqref{eq:2.4.13}\) ekuazioa gutxi gorabehera betetzen duela; bektore hori hobetuz, zehaztasun handiagoko \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) soluzioa lortu nahi da.

Horretarako, lehenik tenperatura-bektorea honela adierazten da.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Bero-eroapenaren matrizearen eta tenperatura-bektorearen biderkadura, masa-matrizea eta abar honako ekuazioen bidez hurbiltzen dira.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) eta \(\eqref{eq:2.4.16}\) ekuazioak \(\eqref{eq:2.4.13}\) ekuazioan ordezkatu eta bigarren ordenako eta maila handiagoko terminoak alde batera utzita, honako ekuazioa lortzen da.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Gainera, ezker aldeko koefiziente-matrizea honako ekuazioaren bidez hurbilduz ebaluatzen da.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Hemen, \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) zurruntasun tangentzialaren matrizea da.

Azkenik, \(t=t_0+\Delta t\) uneko tenperatura kalkula daiteke honako ekuazioa erabiliz iterazio bidezko kalkulua eginda.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Bereziki, egoera egonkorreko analisian iterazio bidezko kalkulua honako ekuazioa erabiliz egiten da.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Analisi iragankorrean \(\Delta t\) denbora-gehikuntza aukeratzeak, denbora-diskretizazioan metodo inplizitua erabiltzen denez, oro har ez du haren tamainari buruzko murrizketa zorrotzik. Hala ere, \(\Delta t\) handiegia bada, iterazio bidezko kalkuluaren konbergentzia lortzeko iterazio kopurua handitzen da. Oro har, \(\Delta t\) denbora-gehikuntza handiegia bada, iterazio kopurua handitzen da. Inplementazioan hondar-bektorearen magnitudea monitorizatzen da; konbergentzia motela bada \(\Delta t\) txikitzen da, eta iterazio gutxi behar badira \(\Delta t\) handitzen da, gehikuntzaren kontrol automatikoaren bidez (xehetasunetarako, ikus Urrats-kontrola).

Lotutako gaiak

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status