Frekuentzia-erantzunaren analisia¶

Problemaren formulazioa¶

Frekuentzia-erantzunaren analisiak sistemaren egoera egonkorreko erantzunaren anplitudea eta fasea frekuentzia-domeinuan ebaluatzen ditu kanpo-indarra denboran harmonikoki aldatzen denean. Higidura-ekuazioaren formulazioa moteltzerik gabe eta moteltzearekin desberdina denez, kapitulu honetan lehenik moteltzerik gabeko bibrazio asketik berezko moduak eratortzen dira, eta gero oinarri modal gisa erabiltzen dira moteldutako erantzun harmonikoa garatzeko.

Moteltzerik gabeko bibrazio askea eta berezko moduak¶

Moteltzea kontuan hartzen ez denean, higidura-ekuazioa honako hau da.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Berezko modu bakoitzaren arabera garatuz,

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Hori \(\eqref{eq:2.6.1}\) ekuazioan ordezkatuz,

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Horrela, problema orokortu bat lortzen da. Haren zenbakizko ebazpen-metodoak (desplazamendudun alderantzizko iterazioa eta Lanczos metodoa) Analisi modala atalean lantzen dira. Atal honetan, ondorengo erantzun harmonikoaren garapenean erabiltzen diren maiztasun naturalen eta berezko moduen propietateak laburbiltzen dira.

Maiztasun naturalen errealitatea¶

Froga daiteke maiztasun naturala erreala dela. Jar dezagun \(\omega_j^2 = \lambda_j\); \(\eqref{eq:2.6.3}\) ekuazioaren konplexu konjugatua hartuta, \(\eqref{eq:2.6.4}\) ekuazioa lortzen da.

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

\(\overline{U}_J^T\)-rekin biderkatuz,

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.6.5}\) ekuaziotik,

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Masa-matrizea simetrikoa eta positiboki definitua denez, zero ez den bektore propio baterako

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Beraz,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

eta, ondorioz, \(\omega_j^2 = \lambda_j\) erreala da.

Berezko moduen ortogonalitatea eta normalizazioa¶

Har ditzagun bi modu desberdin.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Hortik,

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

eta balio propioak desberdinak direnean,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Beraz, berezko modu desberdinak ortogonalak dira masa-matrizearekiko. Modu bererako, masa-matrizearekiko normalizatzeak (\(\eqref{eq:2.6.12}\) ekuazioa) ondorengo tratamendua errazten du.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Erantzun harmonikoa moteltzearekin¶

Jarraian, moteltzea kontuan hartzen duen frekuentzia-erantzunaren analisiaren formulazioa ematen da. Higidura-ekuazioa \(\eqref{eq:2.6.13}\) ekuazioan ageri da.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Moteltze-terminoa Rayleigh motakoa dela suposatzen da, eta \(\eqref{eq:2.6.14}\) bezala adieraz daiteke.

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Analisi modaletik lortutako bektore propioak erabiliz, t uneko desplazamendu-bektorea \(\eqref{eq:2.6.15}\) ekuazioan bezala gara daiteke.

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Kanpo-indarraren terminoa forma harmoniko hau denean,

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

\(b_{j}(t)\) zehazten da. \(\eqref{eq:2.6.13}\) higidura-ekuazioak bibrazio behartuaren forma duenez,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

betetzen da. \(b_{j}(t)\) garapen-koefizientearen zati erreala eta irudikaria \(\eqref{eq:2.6.18}i\) eta \(\eqref{eq:2.6.19}\) ekuazioen formetan lortzen dira.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Horrenbestez, goiko adierazpenak lortzen dira.

Lotutako gaiak¶

Analisi modala — oinarri den balio propioen problemaren formulazioa
Analisi dinamikoaren metodoak — denbora-domeinuko analisi dinamikoa
Analisi motak — frekuentzia-erantzunaren analisiaren funtzionalitatearen ikuspegi orokorra