Analisi modala¶

Balio propioen problema orokortua¶

Kontinuo baten bibrazio askearen analisia egitean, espazio-diskretizazioa egiten da eta sistema askatasun-gradu anitzeko masa kontzentratuen sistema gisa modelatzen da, 2.3.1 irudian bezala. Moteltzerik gabeko bibrazio askearen kasuan, gobernu-ekuazioa (higidura-ekuazioa) honako hau da.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Hemen, $u$ desplazamendu orokortuaren bektorea da, $M$ masa-matrizea eta $K$ zurruntasun-matrizea. Har dezagun berezko maiztasun angeluarra $\omega$, $a$, $b$, $c$ konstante arbitrarioak eta $x$ bektore bat, eta defini dezagun funtzioa

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Definizio horrekin, haren bigarren deribatua da

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Hori $\eqref{eq:2.3.1}$ ekuazioan ordezkatuz,

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

hau da,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

lortzen da.

Beraz, $\eqref{eq:2.3.5}$ ekuazioa betetzen duen $\lambda = \omega^2$ koefizientea eta $x$ bektorea aurkitzen badira, $u(t)$ funtzioa $\eqref{eq:2.3.1}$ ekuazioaren soluzioa da.

$\lambda$ koefizienteari balio propioa eta $x$ bektoreari bektore propioa deritze; horiek $\eqref{eq:2.3.1}$ ekuaziotik aurkitzeko problemari balio propioen problema orokortua deritzo.

Moteltzerik gabeko bibrazio askeko askatasun-gradu anitzeko sistema baten adibidea

2.3.1 irudia. Moteltzerik gabeko bibrazio askeko askatasun-gradu anitzeko sistema baten adibidea

Matrizeen propietateak eta hipotesiak¶

Aurreko atalean lortutako $K x = \lambda M x$ balio propioen problema orokorturako, eskuliburu honek honako matrize-propietateak suposatzen ditu. Hipotesi horiek ondorengo desplazamendudun alderantzizko iterazioaren eta Lanczos metodoaren konbergentziaren eta aplikagarritasunaren oinarri dira. Matrize konplexuetan, transposatuak konjugazio konplexuaren erlazioa du; matrize errealetan, matrizea simetrikoa da. $K$ matrizearen $ij$ osagaia $k_{ij}$ bada eta $k$-ren konjugatu konplexua $\bar{k}$ bada,

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

erlazioa betetzen da.

Eskuliburu honetan matrizeak simetriko eta positiboki definituak direla suposatzen da. Positiboki definitua izateak balio propio guztiak positiboak direla esan nahi du; bestela esanda, $\eqref{eq:2.3.7}$ ekuazioa beti betetzen da.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Desplazamendudun alderantzizko iterazioa¶

Elementu finituen egitura-analisian, praktikan ez dira balio propio guztiak behar; askotan nahikoa dira maila baxuko balio propio gutxi batzuk. HEC-MW eskala handiko problemak tratatzeko pentsatuta dagoenez, matrizeak handiak eta oso sakabanatuak dira (zero elementu asko dituzte). Horregatik, garrantzitsua da maila baxuko moduen balio propioak eraginkortasunez kalkulatzea.

Balio propioen beheko muga $\sigma$ bada, $\eqref{eq:2.3.5}$ ekuazioa honela eraldatzen da (matematikoki baliokidea da).

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Kalkulurako, ondoko propietate erabilgarriak ditu.

Moduen ordena alderantzikatu egiten da.
$\rho$-ren inguruko balio propioak handitu egiten dira.

Benetako kalkuluetan, balio propio handiena sarritan lehenengo lortzen da. Horregatik, konbergentzia-kalkulu nagusia $\eqref{eq:2.3.5}$ ekuazioari baino $\eqref{eq:2.3.8}$ ekuazioari aplikatzen zaio, $\rho$-ren inguruko balio propioak lehenago lortzeko. Metodo honi desplazamendudun alderantzizko iterazioa deritzo.

Lanczos metodoa¶

Hautatzeko arrazoia (Jacobi metodoarekiko konparazioa)¶

Metodo klasikoen artean Jacobi metodoa ezaguna da.

Metodo hori eraginkorra da matrize txiki eta trinkoetarako. Baina HEC-MW-k matrize handiak eta sakabanatuak erabiltzen dituenez, ez da Jacobi metodoa erabiltzen; Lanczos iterazio-metodoa erabiltzen da.

Algoritmoa eta ezaugarriak¶

C. Lanczosek 1950eko hamarkadan proposatutako metodo hau matrizeak tridiagonalizatzeko algoritmo bat da eta honako ezaugarriak ditu.

Iteraziozko konbergentzia-metodoa da, eta matrizea sakabanatua izaten jarrai dezake kalkuluan zehar.
Algoritmoaren muina matrize-bektore biderkadurak dira, eta horregatik egokia da paralelizaziorako.
Elementu finituen sareekin lotutako domeinu-banaketa geometrikorako egokia da.
Kalkulua eraginkorra egin daiteke lortu beharreko balio propioen kopurua edo moduen tartea mugatuz.

Lanczos metodoak hasierako bektore batetik abiatzen da, bektore ortogonalak sekuentzialki sortzen ditu eta azpiespazio baten oinarria lortzen du. Beste iterazio-metodo bat den azpiespazio-metodoa baino azkarragoa dela esaten da, eta elementu finituen programetan oso erabilia da. Hala ere, metodo hau ordenagailuaren erroreen eraginpean erraz geratzen da; bektoreen ortogonalitatea gal daiteke eta kalkulua huts egin dezake. Horregatik, erroreen aurkako neurriak ezinbestekoak dira.

Esanahi geometrikoa (Krylov azpiespazioa)¶

$\eqref{eq:2.3.8}$ ekuazioan aldagaiak honela aldatuz,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

problema honela berridazten da

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

lortzen da.

$q_0$ bektore egoki bati $A$ matrizearen transformazio lineala aplikatzen zaio (ikus 2.3.2 irudia).

$$A$ matrizearen bidezko $q_0$ bektorearen transformazio lineala$

2.3.2 irudia. $A$ matrizearen bidezko $q_0$ bektorearen transformazio lineala

Transformaturiko bektorea jatorrizko bektorearekin osatzen duen espazioaren barruan ortogonalizatzen da. Hau da, 2.3.2 irudian bezala Gram-Schmidt ortogonalizazioa egiten da. Lortutako bektoreari $r_1$ deitzen zaio, normalizatu (1 luzerara) eta $q_1$ lortzen da (2.3.3 irudia). Algoritmo berarekin, $q_1$-etik $q_2$ lortzen da. Une horretan, $q_2$ ortogonala da bai $q_1$-ekiko bai $q_0$-rekiko (2.3.4 irudia). Kalkulu bera jarraituz, elkarrekiko ortogonalak diren bektoreak lor daitezke matrizearen gehieneko ordenara arte.

$$q_0$-rekiko ortogonala den $q_1$ bektorea$

2.3.3 irudia. $q_0$-rekiko ortogonala den $q_1$ bektorea

$$q_1$ eta $q_0$-rekiko ortogonala den $q_2$ bektorea$

2.3.4 irudia. $q_1$ eta $q_0$-rekiko ortogonala den $q_2$ bektorea

Lanczos algoritmoa bereziki $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$ bektore-sekuentziarekin

hau da, $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$ sekuentziarekin

Gram-Schmidt ortogonalizazioa egitea da. Bektore-sekuentzia honi Krylov sekuentzia deritzo, eta sortzen duen espazioari Krylov azpiespazioa. Espazio honetan Gram-Schmidt ortogonalizazioa eginda, hurrengo bektorea azken bi bektoreak erabiliz lor daiteke. Honi Lanczos printzipioa deritzo.

Tridiagonalizazioa¶

Aurreko iterazioan i+1-garren kalkulua honela adieraz daiteke

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

non

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

den. Matrize-notazioan,

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

eta hemen

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Beraz, balio propioak $\eqref{eq:2.3.13}$ ekuazioan lortutako matrize tridiagonalaren balio propioen problema ebatziz lortzen dira.

Lotutako gaiak¶

Frekuentzia-erantzunaren analisia — analisi modalaren emaitzak erabiliz frekuentzia-erantzuna
Analisi motak — analisi modalaren funtzionalitatearen ikuspegi orokorra