Magnitude fisikoen sinboloen zerrenda Orri honetan FrontISTR teoria-eskuliburuan erabiltzen diren magnitude fisikoen sinboloak zerrendatzen dira. Notazio-konbentzioetarako (bektore eta tentsoreen letra lodia, Einsteinen batuketa-konbentzioa eta Voigt notazioa), ikus Tentsore-notazioa eta oinarri matematikoak .
Konfigurazioak eta koordenatu-sistemak Sinboloa Deskribapena \(\boldsymbol{X}\) Material-puntu baten posizio-bektorea erreferentziazko (hasierako) konfigurazioan (koordenatu materialak) \(\boldsymbol{x}\) Material-puntu baten posizio-bektorea uneko konfigurazioan (koordenatu espazialak) \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Higidura-mapa: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) \(\Omega_0\) Gorputzak erreferentzia-konfigurazioan hartzen duen domeinua \(\Omega\) Gorputzak uneko konfigurazioan hartzen duen domeinua \(\Gamma_0\) \(\Omega_0\) -ren muga \(\Gamma\) \(\Omega\) -ren muga \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Muga geometrikoa (desplazamendua): uneko/erreferentziazko konfigurazioko muga, non \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) ezartzen den \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Muga mekanikoa: uneko/erreferentziazko konfigurazioko muga, non \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (edo \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\) ) ezartzen den \(\boldsymbol{n}\) Uneko konfigurazioko gainazal baten kanporanzko normal-bektore unitarioa \(\boldsymbol{N}\) Erreferentzia-konfigurazioko gainazal baten kanporanzko normal-bektore unitarioa \(t\) Denbora
Konbentzioa : Erreferentzia-konfigurazioko magnitude fisikoak letra larriz edo \(0\) azpiindizez adierazten dira; uneko konfiguraziokoak, berriz, letra xehez.
Denbora eta gehikuntzak (analisi inkrementala) Sinboloa Deskribapena \(\Delta t\) Denbora-gehikuntza: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) \(^{t}(\cdot)\) \(t\) uneko magnitude fisikoa (ezkerreko goi-indizea). Adibidez: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) \(t\) uneko Cauchy tentsioa da \(^{t}\Omega\) Uneko konfigurazioaren domeinua \(t\) unean \(^{t}\Gamma\) Uneko konfigurazioaren muga \(t\) unean
Konbentzioa : Analisi inkrementalean, \(t\) unera arteko egoera ezaguntzat hartzen da, eta \(t + \Delta t\) uneko egoera ezezagun gisa ebazten da. Ezkerreko goi-indizea ez da idazten denbora esplizituki adierazi beharrik ez dagoenean. Erreferentzia gisa \(\Omega_0\) erreferentzia-konfigurazioa erabiltzen duen formulazioari Total Lagrange formulazioa deritzo; gehikuntzaren hasieran \(^{t}\Omega\) uneko konfigurazioa erabiltzen duenari, berriz, Updated Lagrange formulazioa.
Desplazamendua, abiadura, azelerazioa eta bolumen-indarra Sinboloa Deskribapena \(\boldsymbol{u}\) Desplazamendu-bektorea: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) \(\bar{\boldsymbol{u}}\) \(\Gamma_B\) muga geometrikoan ezarritako desplazamendua \(\delta \boldsymbol{u}\) Desplazamendu birtuala (proba-funtzioa): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) \(\Gamma_B\) -n \(\boldsymbol{v}\) Abiadura-bektorea: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) \(\boldsymbol{a}\) Azelerazio-bektorea: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) \(\boldsymbol{g}\) Bolumen-indarra (masa unitateko) \(\boldsymbol{t}\) Trakzio-bektorea (azalera unitateko): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) \(\bar{\boldsymbol{t}}\) \(\Gamma_t\) muga mekanikoan ezarritako trakzioa (Neumann datuak)
Eragile diferentzialak Sinboloa Deskribapena \(\dot{(\cdot)}\) Denborarekiko deribatu materiala (material-puntu berari jarraitzen dion denbora-deribatua): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) \(\nabla_X\) Erreferentzia-konfigurazioko gradientea (\(\boldsymbol{X}\) koordenatu materialekiko gradientea): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) \(\nabla_x\) Uneko konfigurazioko gradientea (\(\boldsymbol{x}\) koordenatu espazialekiko gradientea): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) \(\nabla_S\) Gradiente simetrikoaren eragilea: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)
Oharra : \(\nabla_X\) eta \(\nabla_x\) honela erlazionatzen dira: \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) . Azpiindizerik gabeko \(\nabla\) gradientea erabiltzen da konfigurazioa testuingurutik argia denean edo bereizketa desagertzen denean, deformazio txikiko problemetan bezala.
Sinboloa Deskribapena \(\boldsymbol{F}\) Deformazio-gradientearen tentsorea: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) \(J\) Bolumen-erlazioa: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) \(\boldsymbol{C}\) Eskuineko Cauchy-Green deformazio-tentsorea: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) \(\boldsymbol{b}\) Ezkerreko Cauchy-Green deformazio-tentsorea: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) \(\boldsymbol{L}\) Abiadura-gradientearen tentsorea: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) \(\boldsymbol{D}\) Deformazio-abiaduraren tentsorea (\(\boldsymbol{L}\) -ren zati simetrikoa): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) \(\boldsymbol{W}\) Spin-tentsorea (\(\boldsymbol{L}\) -ren zati antisimetrikoa): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)
Sinboloa Deskribapena \(\boldsymbol{E}\) Green-Lagrange deformazio-tentsorea (erreferentzia-konfigurazioa): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) \(\boldsymbol{e}\) Almansi deformazio-tentsorea (uneko konfigurazioa): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi deformazio-tentsorearen zati lineala (uneko konfigurazioko desplazamendu-gradiente simetrikoa): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) \(\boldsymbol{\varepsilon}\) Deformazio infinitesimalaren tentsorea (hurbilketa lineala): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)
Oharra : \(\boldsymbol{E}\) batez ere Total Lagrange formulazioan erabiltzen da; \(\boldsymbol{D}\) , berriz, batez ere Updated Lagrange formulazioan.
Tentsio-tentsoreak Sinboloa Deskribapena \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy tentsio-tentsorea (benetako tentsioa, uneko konfigurazioa): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) \(\boldsymbol{P}\) Lehen Piola-Kirchhoff tentsio-tentsorea (tentsio nominala): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) \(\boldsymbol{S}\) Bigarren Piola-Kirchhoff tentsio-tentsorea (erreferentzia-konfigurazioa, simetrikoa): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
Tentsio-tentsoreen arteko bihurketa-erlazioak:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Konbentzioa : Total Lagrange formulazioak \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) bikotea erabiltzen du; Updated Lagrange formulazioak, berriz, \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) bikotea.
Dentsitatea eta masa Sinboloa Deskribapena \(\rho\) Masa-dentsitatea uneko konfigurazioan \(\rho_0\) Masa-dentsitatea erreferentzia-konfigurazioan
Masaren kontserbazioa: \(\rho_0 = J\rho\) .
Material-konstanteak (elastikotasun lineala) Sinboloa Deskribapena \(E\) Young-en modulua \(\nu\) Poisson-en erlazioa \(\lambda\) Lehen Lamé konstantea: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) \(\mu\) Bigarren Lamé konstantea (ebakidura-modulua): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Elastikotasun-tentsorea (laugarren ordenakoa): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\) , \(C_{ijkl}\) osagaiak \(D\) (edo \(\hat{\tilde{C}}\) )Material-matrizea (Voigt notazioa, \(6\times6\) 3Dn): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)
Elastikotasun-tentsorearen osagaiak material elastiko lineal isotropo baterako:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Material hiperelastikoak Sinboloa Deskribapena \(W(\boldsymbol{C})\) Potentzial elastikoaren funtzioa (deformazio-energiaren dentsitate-funtzioa) \(I_1, I_2, I_3\) \(\boldsymbol{C}\) eskuineko Cauchy-Green tentsorearen inbariante nagusiak \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) \(\boldsymbol{C}\) -ren inbariante murriztuak (bolumen-aldaketa bereizita) \(C_1, C_2\) Mooney-Rivlin ereduaren material-konstanteak \(D\) Bolumen-elastikotasunarekin lotutako material-konstantea
Material elastoplastikoak Sinboloa Deskribapena \(\boldsymbol{D}^e\) Deformazio-abiaduraren tentsorearen osagai elastikoa \(\boldsymbol{D}^p\) Deformazio-abiaduraren tentsorearen osagai plastikoa \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Isurpen-funtzioa \(\kappa\) Egoera plastikoa adierazten duen barne-aldagaia (gogortze isotropoko aldagaia) \(\lambda^p\) Biderkatzaile plastikoa (deformazio plastikoaren abiadura-biderkatzailea): \(\lambda^p \geq 0\) \(\Theta\) Potentzial plastikoa (\(\Theta = F\) fluxu-arau asoziatu baterako) \(\bar{\sigma}\) Tentsio baliokidea (adib., von Mises tentsioa) \(\bar{\varepsilon}^p\) Deformazio plastiko baliokidea \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Gogortze isotropoko funtzioa
Osagarritasun-baldintza: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\) , \(\lambda^p \geq 0\) , \(F \leq 0\) .
Elementu finituen metodoa Sinboloa Deskribapena \(\Omega^h, \Omega_0^h\) Elementu finituen diskretizazioz hurbildutako uneko eta erreferentziazko konfigurazioen domeinuak: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) \(\Omega^e, \Omega^e_0\) Elementuaren domeinua uneko eta erreferentziazko konfigurazioetan \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Muga mekanikoari dagokion elementu-mugaren zatia \(\boldsymbol{r}\) Koordenatu naturalak (elementuaren koordenatu lokalak) \(\boldsymbol{r}_\alpha\) \(\alpha\) nodoari dagokion koordenatu naturaletako puntua \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) \(e\) elementuko \(\alpha\) nodoari dagokion forma-funtzioa \(n_e\) Elementu bat osatzen duten nodoen kopurua \(n_g\) Nodo globalen guztizko kopurua \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Elementuko \(\alpha\) nodoaren koordenatuak eta desplazamendua \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Elementu-nodoen koordenatu- eta desplazamendu-bektoreak: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) , etab. \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Nodo globalen koordenatu- eta desplazamendu-bektoreak (nodo-zenbakiaren arabera eta ondoren askatasun-graduaren arabera ordenatuta) \(\boldsymbol{B}\) Deformazio-desplazamendu erlazioaren matrizea (B matrizea) \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Forma-funtzioen matrizea: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) \(d \times d\) blokea da, diagonalean \(\alpha\) nodoko \(N_\alpha^e\) forma-funtzioa duena; eta \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) . \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) \(\boldsymbol{K}^e\) Elementuaren zurruntasun-matrizea \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Elementuaren zurruntasun-matrizearen integrakizunak (erreferentziazko eta uneko konfigurazioetan adierazita): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL formulazioa), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL formulazioa)Elementuaren barne-indar bektorea \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Elementuko \(\alpha\) nodoan eragiten duen kanpo-indar nodala eta elementuaren kanpo-indar nodalen bektorea: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Barne-indarren bektore globala eta kanpo-indarren bektore globala: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\) ; era berean \(\boldsymbol{F}\) \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) \(i_g\) nodo globaleko barne-indar nodala eta kanpo-indar nodala (\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) -ren nodo-blokeak) \(\boldsymbol{K}\) Zurruntasun tangenteko matrize globala: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\) . \(i_g\) errenkadan eta \(i_h\) zutabean \(3\times 3\) -ko \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) blokea kokatuz osatutako matrizea \(\boldsymbol{R}_i\) Newton-Raphson iterazioko hondar-bektorea: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) \(d\boldsymbol{u}_i\) Newton-Raphson iterazioko zuzenketa (\(i\) iterazioan \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) ekuazio lineala ebatzita lortua) \(i_g\) Nodo globalaren zenbakia (\(1 \leq i_g \leq n_g\) ) \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) \(e\) elementuko \(\alpha\) nodo lokalari dagokion nodo globalaren zenbakia: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) \(\mathcal{E}(i_g)\) \(i_g\) nodo globalaren zenbakiari dagozkion \((e, \alpha)\) bikoteen multzoa: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\) . Muntaketa-eragiketetan erabiltzen da \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) \((i_g, i_h)\) nodo globalen zenbaki-pareari dagozkion \((e, \alpha, \beta)\) hirukoteen multzoa; zurruntasun-matrizea muntatzeko erabiltzen da \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Elementu bat osatzen duten nodoen indizeak \(i, j, k, l, \ldots\) Askatasun-graduen indizeak (\(1, 2, 3\) 3Dn)
Errendimendu handiko elementuak eta egitura-elementuak Sinboloa Deskribapena \(\bar{\boldsymbol{B}}\) B-bar metodoaren bidez bolumen-zatia aldatuta duen deformazio-desplazamendu erlazioaren matrizea (bolumen-osagaia elementuaren zentroan ebaluatutako B matrizeaz ordezten da) \(\bar{\boldsymbol{F}}\) F-bar metodoaren bidez bolumen-zatia aldatuta duen deformazio-gradientea: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) \(J_0\) Elementuaren zentroan \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) ebaluatutako deformazio-gradientearen bolumen-erlazioa: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) \(\boldsymbol{\alpha}\) Modu bateraezineko elementu baten barne-askatasun-graduen bektorea (elementuaren mugan jarraitutasuna inposatzen ez duten desplazamendu-modu gehigarrien koefizienteak) \(M_k(\boldsymbol{r})\) Modu bateraezinen forma-funtzioak: \(M_1=1-\xi^2\) , \(M_2=1-\eta^2\) , \(M_3=1-\zeta^2\) \(h\) Maskor-elementuaren lodiera \(A\) Habe-elementu baten zeharkako sekzioaren azalera \(I\) Habe-elementu baten zeharkako sekzioaren bigarren azalera-momentua \(G\) Ebakidura-modulua: \(G = E/[2(1+\nu)]\)
Lotutako gaiak