Tentsore-notazioa eta oinarri matematikoak¶

Kapitulu honetan FrontISTR teoria-eskuliburuaren ondorengo kapituluetan erabiltzen diren tentsore-, indize- eta Voigt notazioaren konbentzioak biltzen dira. Hemen magnitude fisikoen definizioetatik independenteak diren notazio-arau hutsak baino ez dira azaltzen. Mugimendu jarraituarekin lotutako konfigurazioaren (erreferentzia/uneko) araberako sinbolo-konbentzioak (maiuskulen eta minuskulen erabilera, deribatu materialaren eta espazialaren bereizketa) Higidura, deformazioa eta strain-a atalean daude, non konfigurazioaren kontzeptua sartzen den.

Tentsore-notazioa¶

Bektore eta tentsoreen letra lodiko notazioa¶

Tipografiaren printzipio gisa, eskalarrak eta bektore/tentsoreen osagaiak letra arruntez adierazten dira (\(\rho\), \(x_i\), etab.), eta bektore/tentsore magnitudeak beraiek letra lodiz (\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\), etab.).

Einstein-en batuketa-konbentzioa¶

Besterik adierazi ezean, Einstein-en batuketa-konbentzioa aplikatzen da: indize bera termino berean bi aldiz agertzen bada, indize horren gainean batzen da. Adibidez,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

eta \(\boldsymbol{A}\) eta \(\boldsymbol{B}\) tentsoreen \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) biderkaduraren \(i,j\) osagaia

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Indize-konbentzioan, besterik adierazi ezean, \(i, j, k, l, \ldots\) indizeek askatasun-graduei dagozkien indizeak adierazten dituzte (3D-n \(1, 2, 3\)), eta \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) letra greko xeheek elementua osatzen duten nodoen indizeak.

Barne-biderkadura, transposizioa eta tentsore-biderkadura¶

\(\boldsymbol{A}\) tentsorearen transposatua \(\boldsymbol{A}^T\) gisa adierazten da. Bigarren ordenako \(\boldsymbol{A}\) eta \(\boldsymbol{B}\) tentsoreen barne-biderkadura (kontrakzio bikoitza) honela idazten da

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

\(\boldsymbol{a}\) eta \(\boldsymbol{b}\) bektoreen biderkadura eskalarra \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\) da, eta tentsore-biderkadura \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigt notazioa¶

Tentsioa eta deformazioa askatasun-graduei dagokien bigarren ordenako tentsore simetrikoak dira, eta bien arteko erlazio lineala adierazten duen koefizientea laugarren ordenako tentsorea da. Hori zuzenean programan tratatzea desegokia da kalkuluaren eta kodeketaren ikuspegitik (dimentsio anitzeko array-ak eta begizta anizkoitz sakonak); horregatik, elementu finituen programa arruntetan simetria baliatuz tentsioa eta deformazioa zutabe-bektoreetan eta laugarren ordenako elastikotasun-tentsorea bi dimentsioko matrize batean konprimitzen dira. Horri Voigt notazioa deritzo.

Aurrerantzean, \(\boldsymbol{A}\) tentsore-magnitudearen matrize/bektore adierazpena \(\hat{A}\) gisa idatziko da, jatorrizko tentsoretik bereizteko.

Tentsioaren eta deformazioaren bektore-notazioa¶

\(\boldsymbol{\sigma}\) tentsio-tentsore simetrikoarentzat eta \(\boldsymbol{\varepsilon}\) deformazio-tentsorearentzat, bi dimentsiotan

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

eta hiru dimentsiotan

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

zutabe-bektore gisa tratatzen dira, goian erakutsi bezala. Arau bera aplikatzen zaie aldakuntzak eta diferentzialak bezalako magnitude eratorriei. Kontuan izan deformazioaren ebakidura-osagaiek 2 faktorea dutela (tentsioarenek ez). Asimetria horri esker tentsorearen barne-biderkadura bektorearen barne-biderkadura gisa idatz daiteke

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

eta forma trinkoan idazten da. Implementazioan erraza da ebakidura-deformazioaren 2 faktorea nahastea; beraz, beti gogoan izan “tentsioan ez / deformazioan bai” konbentzioa. Erreferentzia-konfigurazioko magnitudeetarako ere Voigt konbentzio bera erabiltzen da (bigarren Piola-Kirchhoff tentsioa \(\boldsymbol{S}\) eta Green-Lagrange deformazioa \(\boldsymbol{E}\)).

Laugarren ordenako tentsorearen matrize-notazioa¶

Tentsioaren eta deformazioaren arteko erlazio linealean \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (osagaika \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), \(\boldsymbol{\varepsilon}\)-ren simetria erabiliz,

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Hiru dimentsiotan, \(\tilde{C}\) 6×6 material-matrize \(\hat{\tilde{C}}\) gisa antolatuz, jatorrizko tentsore-erlazioa

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Aurrerantzean, eskuliburu honetan besterik adierazi ezean, material-matrizea \(D\) (edo \(\hat{C}\)) gisa adieraziko da. Elastikotasun lineal isotropikoaren osagai zehatzetarako, ikus Elastikotasun lineala.

Eragile diferentzialen konbentzioak¶

Gradiente simetrikoaren eragilea¶

\(\boldsymbol{u}\) bektore-eremurako gradiente simetrikoaren eragilea \(\nabla_S\) honela definitzen da

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Osagaika, \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Deformazio txikiko \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) strain-a trinkoki adierazten da eragile honekin. Deformazio finituetan gradienterako konfigurazioa (erreferentzia/unekoa) nola bereizten den Higidura, deformazioa eta strain-a atalean lantzen da.

Denborarekiko deribatu materiala¶

\(A\) magnitude baten denborarekiko deribatu materiala (material-puntu berari jarraituz hartutako denbora-deribatua) goiko puntu batez adierazten da, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Abiadurak eta azelerazioak konbentzio hau jarraitzen dute.

Lotutako gaiak¶

Higidura, deformazioa eta strain-a — erreferentzia/uneko konfigurazioaren kontzeptua eta konfigurazioaren araberako sinbolo-konbentzioak (maiuskula/minuskula, deribatu materiala/espaziala)
Tentsioa eta kontserbazio-legeak — gobernu-ekuazioen deribazioa notazio hau erabiliz
Lan birtualaren printzipioa — forma ahula eta Voigt notazioaren erabilera
Elastikotasun lineala — \(D\) material-matrizearen forma zehatza
Forma-funtzioak eta elementu finituen hurbilketa — elementu-zurruntasunaren kalkulua Voigt notazioan