Analisi inkrementalaren esparrua¶

Analisi inkrementalaren beharra¶

Arestian azaldu bezala, deformazio txikiko problemen analisian elementu finituen analisia egin daiteke oreka-ekuazioen gisako oinarrizko ekuazioen baliokidea den lan birtualaren printzipioa erabiliz eta adierazpen hori elementu finituen bidez diskretizatuz. Egituren deformazio handiak aztertzen dituzten deformazio finituko problemetan ere, funtsean, lan birtualaren printzipio bera erabiltzen da.

Hala ere, deformazio finituko problemetan, materialaren linealtasuna suposatuta ere, lan birtualaren printzipioaren ekuazioa ez-lineala da desplazamenduarekiko. Ekuazio ez-linealak ebazteko, normalean iterazio-metodoen bidezko kalkulu errepikatuak erabiltzen dira.

Iterazio-kalkulu horietan analisi inkrementala erabiltzen da: kalkulua zatika egiten da karga-inkrementu txikietarako, eta inkrementuak metatzen dira azken deformazio-egoerara iritsi arte. Deformazio txikiko problema bat suposatzean, deformazioa eta tentsioa definitzeko konfigurazioa ez zen bereziki bereizten deformazioaren aurretik eta ondoren. Hau da, deformazio txikiaren hipotesian ez da arazorik oinarrizko ekuazioak deformazioaren aurreko edo ondorengo konfigurazioan idaztearekin.

Deformazio finituko problema batean analisi inkrementala egitean, formulazioa aldatu egiten da erreferentzia-konfiguraziotzat hasierako konfigurazioa edo inkrementuaren hasierako konfigurazioa hartzen den arabera. Lehenari total Lagrange metodoa deritzo, eta bigarrenari updated Lagrange metodoa. Xehetasunetarako, ikus kapitulu amaierako erreferentziak eta lotutako materiala.

Abiapuntuko ekuazioa: lan birtualaren printzipioa \(t'\) unean¶

Har dezagun analisi inkremental bat, non \(t\) unera arteko egoera ezaguna den eta \(t' = t + \Delta t\) uneko egoera ezezaguna den (ikus 2.2.1 irudia). \(t'\) uneko oreka-ekuazioak, muga-baldintzak eta lan birtualaren printzipioa (uneko konfigurazioan adierazita, Cauchy tentsioa \(^{t'}\sigma\) eta Almansi deformazioaren zati lineala \(^{t'} A_{(L)}\) erabiliz) Lan birtualaren printzipioa atalean emandakoak dira.

2.2.1 irudia. Analisi inkrementalaren kontzeptua

Hala ere, abiapuntuko ekuazio hori \(t'\) uneko konfigurazio (ezezagunean) idatzita dagoenez, benetako ebazpen-prozeduran \(0\) uneko hasierako konfigurazioa \(V\) edo \(t\) uneko uneko konfigurazioa \(^{t'} v\) hautatzen da berriro erreferentzia-konfigurazio gisa, ekuazioa forma inkrementalean berridazten da eta gero ebazten da:

• Total Lagrange metodoa — hasierako konfigurazioa \(V\) erabiltzen du erreferentzia gisa. Bigarren PK tentsioa \(\boldsymbol{S}\) eta Green-Lagrange deformazioa \(\boldsymbol{E}\) erabiltzen dira.
• Updated Lagrange metodoa — inkrementuaren hasierako uneko konfigurazioa \(^{t}v\) erabiltzen du erreferentzia gisa. Cauchy tentsioa \(\boldsymbol{\sigma}\) eta Almansi deformazioaren zati lineala \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) erabiltzen dira.

Bi formulazioen espazio-diskretizaziorako (B matrizea eta barne-indarren bektorea), ikus Barneko lan birtualaren diskretizazioa; linearizaziorako eta tangentzia-zurruntasunaren eraketarako, ikus Tangentzia-zurruntasunaren matrizea.

Lotutako gaiak¶

• Lan birtualaren printzipioa — abiapuntuko ekuazio nagusia (forma ahula uneko eta hasierako konfigurazioetan)
• Barneko lan birtualaren diskretizazioa — TL/UL formulazioetako B matrizeak eta barne-indarren bektoreak
• Tangentzia-zurruntasunaren matrizea — linearizazioz lortutako \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\)
• Newton-Raphson metodoa — iterazio-algoritmoa