Tentsioak eta kontserbazio-legeak¶

Kapitulu honek tentsore-tentsioen definizioak eta elkarrekiko erlazioak antolatzen ditu, baita masa, momentu lineal eta momentu angeluar kontserbaziotik ondorioztatutako oreka-ekuazioak eta tentsioaren simetria ere. Hiru tentsore-tentsioak —Cauchy tentsioa \(\boldsymbol{\sigma}\), lehen Piola-Kirchhoff tentsioa \(\boldsymbol{P}\) eta bigarren Piola-Kirchhoff tentsioa \(\boldsymbol{S}\)— erreferentzia-gainazalerako eta indar-bektorerako erabiltzen den konfigurazioaren arabera aurkezten dira. Konfigurazioaren, higiduraren eta deformazio-gradientearen definizioetarako, ikus Higidura, deformazioa eta tentsioa, eta sinboloen zerrendarako Magnitude fisikoen sinboloen zerrenda.

Cauchy tentsore-tentsioa¶

Izan bedi \(d\boldsymbol{f}\) uneko konfigurazioko \(\boldsymbol{x}\) puntuko gainazal infinitesimal baten gainean jarduten duen indarra (azalera \(d\Gamma\), kanporako normal unitarioa \(\boldsymbol{n}\)), eta defini bedi trakzio-bektorea \(\boldsymbol{t}\) azalera-unitateko indar gisa, \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) bidez. \(\boldsymbol{t}\) posizioaren \(\boldsymbol{x}\) eta normalaren \(\boldsymbol{n}\) mende dago. Momentu linealaren kontserbazioa tetraedro infinitesimal bati aplikatzean, \(\boldsymbol{t}\) lineala da \(\boldsymbol{n}\)-rekiko; beraz, badago bigarren ordenako \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) tentsore bat, non

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

edozein \(\boldsymbol{n}\)-rentzat (Cauchyren tentsio-teorema). \(\boldsymbol{\sigma}\) tentsoreari Cauchy tentsore-tentsioa deritzo, eta benetako tentsioa ere bai, uneko konfigurazioaren geometriarekiko azalera-unitateko indarra adierazten duelako. \(\sigma_{ij}\) osagaiak uneko konfigurazioan \(x_j\) koordenatu-ardatzarekiko normala den gainazal infinitesimal baten gaineko azalera-unitateko indarraren \(x_i\) osagaia adierazten du.

Aurrerago momentu angeluarraren kontserbaziotik erakusten denez, Cauchy tentsioa tentsore simetrikoa da:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Hortaz, hiru dimentsiotan sei osagai independente ditu (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Voigt notazioan tentsioa bektorizatzeak simetria hori hartzen du oinarri (ikus Tentsore-notazioa eta oinarri matematikoak). Cauchy tentsioa FrontISTR-en Updated Lagrange metodo bidezko analisi geometrikoki ez-linealeko eta deformazio txikiko analisiko tentsio-irteeran erabiltzen da.

Lehen eta bigarren Piola-Kirchhoff tentsioak¶

Deformazio finituetan maiz komenigarria da tentsioa erreferentzia-konfigurazioko gainazal eta bektoreei erreferentzia eginez adieraztea; horregatik, bi Piola-Kirchhoff tentsore-tentsio sartzen dira. Erreferentzia-konfigurazioko gainazal infinitesimalaren azalera \(d\Gamma_0\) izan bedi, eta haren kanporako normal unitarioa \(\boldsymbol{N}\).

Lehen Piola-Kirchhoff tentsioa (lehen PK tentsioa, tentsio nominala) \(\boldsymbol{P}\) uneko konfigurazioko \(d\boldsymbol{f}\) indarra erreferentzia-konfigurazioko gainazal infinitesimal bati aplikatzean lortzen den tentsore-tentsio gisa definitzen da:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Nansonen formula \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) eta Cauchyren tentsio-teorema erabiliz, Cauchy tentsioarekiko erlazioa lortzen da:

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Lehen PK tentsioa, oro har, ez da simetrikoa.

Bigarren Piola-Kirchhoff tentsioa (bigarren PK tentsioa) \(\boldsymbol{S}\) uneko konfigurazioko \(d\boldsymbol{f}\) indarra \(\boldsymbol{F}^{-1}\) bidez erreferentzia-konfiguraziora atzera eramanez eta erreferentzia-konfigurazioko gainazal infinitesimalari aplikatuz lortzen den tentsore-tentsio gisa definitzen da:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Indar-bektorea eta jarduten duen gainazala biak erreferentzia-konfigurazioko magnitudeen bidez adierazten dira; ondorioz, gorputz zurrunaren biraketarekiko inbariantea eta simetrikoa da. Lehen PK tentsioarekiko erlazioa eta Cauchy tentsiotik abiatutako transformazioa hauek dira:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Bigarren PK tentsioa \(W(\boldsymbol{C})\) deformazio-energia hiperelastikoko funtziotik erator daiteke \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) gisa eta, Total Lagrange metodoan, Green-Lagrange deformazioarekin \(\boldsymbol{E}\) batera erabiltzen da lan-konjugatutako bikote gisa \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Erreferentzia-konfigurazioak eta simetria-ezaugarriak beheko taulan laburbiltzen dira. Deformazio txikien mugan (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)), hiru tentsioak bat datoz.

Tentsore-tentsioa	Erreferentzia-gainazala	Indar-bektorea	Simetria	Erabilera
Cauchy tentsioa \(\boldsymbol{\sigma}\)	Uneko konfigurazioa \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Uneko konfigurazioa \(d\boldsymbol{f}\)	Simetrikoa	Updated Lagrange metodoa / deformazio txikiko analisia
Lehen PK tentsioa \(\boldsymbol{P}\)	Erreferentzia-konfigurazioa \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Uneko konfigurazioa \(d\boldsymbol{f}\)	Oro har ez-simetrikoa	Oreka-ekuazioak erreferentzia-konfigurazioan
Bigarren PK tentsioa \(\boldsymbol{S}\)	Erreferentzia-konfigurazioa \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Erreferentzia-konfigurazioa \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Simetrikoa	Total Lagrange metodoa / hiperelastikotasuna

Masaren eta momentu linealaren kontserbazioa eta oreka-ekuazioak¶

Izan bedi \(\rho\) masa-dentsitatea uneko konfigurazioan eta \(\rho_0\) masa-dentsitatea erreferentzia-konfigurazioan. Masaren kontserbazio-legea \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), bolumen-elementuaren \(dv = J\, dV\) transformazioarekin batera, forma lokal honetara murrizten da:

\[ \rho_0 = J \rho \]

Hau da masaren kontserbazioaren erlazio lokala.

Izan bedi \(\boldsymbol{g}\) masa-unitateko gorputz-indarra eta \(\boldsymbol{a}\) azelerazioa. Cauchyren tentsio-teorema eta Gaussen dibergentzia-teorema momentu linealaren kontserbazioari (Eulerren lehen higidura-legeari) aplikatuz, uneko konfigurazioko oreka-ekuazio (higidura-ekuazio) lokala lortzen da:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Integrala erreferentzia-konfigurazioan berridatziz Nansonen formula eta \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) erabilita, erreferentzia-konfigurazioko forma lokala lortzen da:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Bi formak baliokideak dira tentsio-transformazioaren legearen eta \(\rho_0 = J\rho\) erlazioaren bidez. Inertzia-terminoa baztertuz, honakoa lortzen da:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

eta hori oreka estatikoaren ekuazioa da, FrontISTR-en analisi estatikoaren (lineala eta ez-lineala) abiapuntua.

Momentu angeluarraren kontserbazioa eta tentsioaren simetria¶

Momentu angeluarraren kontserbazioa (Eulerren bigarren higidura-legea) momentu linealaren kontserbaziotik datorren oreka-ekuazioarekin konbinatuz, Cauchy tentsore-tentsioaren simetria lortzen da:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Beraz, hiru dimentsiotan sei osagai independente ditu. \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) transformazioaren bi aldeak transposatuz eta \(\boldsymbol{F}\)-ren ez-singulartasuna erabiliz, bigarren PK tentsioa ere simetrikoa dela erakusten da:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

eta, beraz, hark ere sei osagai independente ditu. Aitzitik, lehen PK tentsioa \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) oro har ez da simetrikoa; \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) erlazioa baino ez da betetzen (hau da, \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) simetrikoa da), eta bederatzi osagai independente ditu.

Simetria hauek Voigt notazioan tentsioa sei osagaiko bektore gisa adierazteko oinarria dira. Voigt notazioaren konbentzioetarako eta material-matrizeen eraikuntzarako, ikus Tentsore-notazioa eta oinarri matematikoak eta Elastikotasun lineala.