Higidura, deformazioa eta tentsio-deformazioa¶

Erreferentzia-konfigurazioa eta uneko konfigurazioa¶

Konfigurazioen definizioa¶

Magnitude fisikoak zein unetako formaren arabera deskribatzen diren bereizteko, eskuliburu honek bi konfigurazio erabiltzen ditu.

Erreferentzia-konfigurazioa (reference configuration): analisiaren hasieran (denbora \(0\)) dagoen deformatu gabeko forma; hasierako konfigurazioa ere deitzen zaio. Erreferentzia-konfigurazioko puntu bat koordenatu materialaren \(\boldsymbol{X}\) bidez adierazten da, bolumena \(V\) da eta gainazala \(S\).
Uneko konfigurazioa (current configuration): \(t\) denboran deformazioaren ondoren dagoen forma. Uneko konfigurazioko puntu bat koordenatu espazialaren \(\boldsymbol{x}\) bidez adierazten da, bolumena \(v\) da eta gainazala \(s\).

Higidura bi konfigurazioen arteko \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) aplikazio gisa adierazten da, eta desplazamendua \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) gisa definitzen da.

Konfigurazioaren araberako notazio-hitzarmena (maiuskulak/minuskulak)¶

Ikurraren maiuskula edo minuskula izateak magnitude fisikoa zein konfiguraziotakoa den bereizten du.

Erreferentzia-konfigurazioko magnitudeak maiuskulaz idazten dira (adibidez, \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Uneko konfigurazioko magnitudeak minuskulaz idazten dira (adibidez, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Bi konfigurazioak lotzen dituzten magnitudeentzat, hala nola lehen Piola-Kirchhoff tentsioa \(\boldsymbol{P}\), ohiko ikurra erabiltzen da eta testuan dagokionean zehazten da.
Deformazio txikien teorian bi konfigurazioen arteko bereizketa desagertzen denez, minuskulak bakarrik erabiltzen dira (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Erreferentzia- eta uneko konfigurazioen gradienteak¶

Deribazio espaziala zein konfiguraziorekiko hartzen den, ikurra eta esanahia aldatzen dira.

Erreferentzia-konfigurazioaren gradientea \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): koordenatu materialekiko gradientea. Adibidez: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Uneko konfigurazioaren gradientea \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): koordenatu espazialekiko gradientea. Adibidez: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Biak \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) erlazioaren bidez lotzen dira. Denbora-deribatuaren hitzarmenerako (denbora-deribatu materiala \(\dot{(\cdot)}\)), ikus Tensoren notazioa eta oinarri matematikoak.

Higiduraren deskribapena¶

Higidura-aplikazioa eta deskribapen materiala/espaziala¶

Jarraitasuna \(0\) denborako \(\boldsymbol{X}\) posizioz etiketatutako puntu materialen multzo gisa hartzen bada, higidura \(\phi\) aplikazioaren bidez deskribatzen da; aplikazio horrek \(\boldsymbol{X}\) puntu materialari \(t\) denborako \(\boldsymbol{x}\) posizioa esleitzen dio:

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Erreferentzia-konfigurazioa hasierako konfigurazio gisa hartzen den hitzarmenean, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Aldagai independenteak nola aukeratzen diren, bi deskribapen bereizten dira.

Deskribapen materiala (Lagrange deskribapena): magnitude fisikoak \((\boldsymbol{X}, t)\)-ren funtzio gisa adierazten dira. Solidoen mekanikan aukera naturala da, erreferentzia-konfigurazioa forma finko gisa ematen delako.
Deskribapen espaziala (Euler deskribapena): magnitude fisikoak \((\boldsymbol{x}, t)\)-ren funtzio gisa adierazten dira. Fluidoen mekanikan estandarra da.

FrontISTR-ren egitura-analisia, funtsean, deskribapen materialean oinarritzen da; hala ere, Updated Lagrange metodoan uneko konfigurazioa erreferentzia-konfigurazio berri gisa erabiltzen denez, deskribapen espazialeko magnitudeak ere erabiltzen dira.

Desplazamendua, abiadura eta azelerazioa¶

Desplazamendua \(\boldsymbol{u}\) aurreko atalean bezala \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) gisa definitzen da. Ez da haren magnitudeaz hipotesirik egiten, eta deformazio finituak barne hartzen dira. Abiadura- eta azelerazio-bektoreak \(\boldsymbol{u}\)-ren denbora-deribatu material gisa definitzen dira, puntu materiala finko mantenduta:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

horrela definitzen dira.

Deformazio-gradientea eta deformazio-tentsoreak¶

Deformazio-gradientearen tentsorea¶

Deformazio finituko kontinuum-mekanikaren oinarrizko magnitudea deformazio-gradientearen tentsorea \(\boldsymbol{F}\) da. Erreferentzia-konfigurazioko \(d\boldsymbol{X}\) lerro-elementu infinitesimala uneko konfigurazioko \(d\boldsymbol{x}\) lerro-elementu infinitesimalera eramaten duen aplikazio lineala da, eta higidura-aplikazioaren koordenatu materialekiko gradiente gisa definitzen da:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

(\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)). Deformaziorik gabeko egoeran, \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) oso erabilia da deformazioaren eta tentsioaren definizioetan eta konfigurazioen arteko magnitude fisikoen transformazioan.

Bolumen-aldaketaren ratioa¶

Erreferentzia-konfigurazioko \(dV\) bolumen infinitesimalaren eta uneko konfigurazioko \(dv\) bolumen infinitesimalaren arteko ratioari bolumen-aldaketaren ratioa \(J\) deitzen zaio:

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Kontinuumaren alderantzikagarritasuna dela eta, \(J > 0\) suposatzen da. Masa-kontserbazioaren legea \(\rho_0 = J\rho\) gisa adierazten da.

Eskuineko eta ezkerreko Cauchy-Green deformazio-tentsoreak¶

Deformazio-gradienteak \(\boldsymbol{F}\) gorputz zurrunaren biraketa barne hartzen duenez, deformazioa bera neurtzeko gorputz zurrunaren biraketa kenduta duen magnitudea erabiltzen da. Eskuineko Cauchy-Green deformazio-tentsorea \(\boldsymbol{C}\) (erreferentzia-konfigurazioa) eta ezkerreko Cauchy-Green deformazio-tentsorea \(\boldsymbol{b}\) (uneko konfigurazioa) honela definitzen dira:

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Biak tentsore simetrikoak dira eta balio propio berak dituzte (luzapen-ratio nagusien karratuak). Energia hiperelastikoaren funtzioaren inbariante nagusiak haien bidez ematen dira.

Tentsio-deformazioaren tentsoreak¶

Green-Lagrange tentsio-deformazioaren tentsorea¶

Erreferentzia-konfigurazioaren araberako deformazio-neurri gisa, Green-Lagrange tentsio-deformazioaren tentsorea \(\boldsymbol{E}\) honela definitzen da:

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Erreferentzia-konfigurazioko bektore infinitesimalen biderkadura eskalarraren aldaketa adierazten duen tentsore simetrikoa da; gorputz zurrunaren biraketarekiko aldaezina da eta deformaziorik gabeko egoeran \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) erabiliz,

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

desplazamendu-gradientearen lehen eta bigarren ordenako terminoen batura gisa adierazten da, eta bigarren ordenako terminoak ez-linealtasun geometrikoa adierazten du. Total Lagrange metodoan, \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) tentsio-pare konjugatu gisa erabiltzen da.

Almansi tentsio-deformazioaren tentsorea¶

Uneko konfigurazioaren araberako deformazio-neurri gisa, Almansi tentsio-deformazioaren tentsorea \(\boldsymbol{e}\) honela definitzen da:

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Green-Lagrange deformazioarekin \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pullback) erlazioaren bidez lotzen da.

Deformazio infinitesimalaren tentsorea¶

Desplazamendu-gradientea txikia denean (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green-Lagrange deformazioaren bigarren ordenako terminoa bazter daiteke, eta bi konfigurazioen bereizketa desagertzen denez, koordenatu espazialetan adierazitako gradientea duen deformazio infinitesimalaren tentsorera \(\boldsymbol{\varepsilon}\) murrizten da:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR-ren analisi estatiko linealean, analisi modalean, maiztasun-erantzunaren analisian eta analisi dinamiko linealean deformazio-neurri hau erabiltzen da. Deformazio finituko analisian, Total Lagrange metodoak \(\boldsymbol{E}\) erabiltzen du, eta Updated Lagrange metodoak uneko konfigurazioaren araberako deformazio-abiaduraren tentsorea \(\boldsymbol{D}\).