Zenbakizko integrazioa¶

Barne-indarren lan birtualaren diskretizazioa eta Kanpo-indarren lan birtuala eta ekuazio globalaren muntaketa ataletan lortutako \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) elementuaren barne-indar bektoreak eta \(\boldsymbol{K}^e\) elementuaren zurruntasun-matrizea \(\Omega^e\) edo \(\Omega^e_0\) elementu-domeinuaren gaineko integral gisa agertzen dira. FrontISTR-ek Gaussen koadraturaren bidez ebaluatzen ditu zenbakiz.

Gaussen koadratura eta aldagai-aldaketa¶

Gaussen koadraturak \(\Xi\) erreferentzia-domeinuaren gaineko integrala hurbiltzen du \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) integrazio-puntuetako integrakizunaren balioen eta \(w_i\) pisuen konbinazio lineal baten bidez. \(\Omega^e\) elementu-domeinuari aplikatzeak \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) mapaketaren bidezko aldagai-aldaketa dakar, eta honela idazten da:

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

non \(n_q\) integrazio-puntuen kopurua den eta \(J_{\xi_i}\) transformazio-Jacobiarraren determinantea den. \(\Xi\) erreferentzia-domeinua elementu mota bakoitzerako definitzen da (hexaedroarentzat \([-1,1]^3\); triangelu, tetraedro eta ziri-formako elementuentzat dagozkien erreferentzia-formak), eta \(\boldsymbol{\xi}_i\) integrazio-puntuak eta \(w_i\) pisuak zenbakizko taula gisa ematen dira. Gainazal-integralak ere forma berean tratatzen dira, elementu-aurpegi bat bi dimentsioko erreferentzia-domeinutik mapatuz.

FrontISTR-ek erabiltzen dituen integrazio-puntuen kopuru adierazgarriak behean erakusten dira (elementu motekiko korrespondentziarako, ikus Elementuen zenbakitze-sistema eta forma-funtzioen liburutegia).

Elementu mota	Koadratura-araua	Integrazio-puntuen kopurua
4 nodoko tetraedroa (`tet4n`)	Puntu 1eko araua	1
10 nodoko tetraedroa (`tet10n`)	4 puntuko araua	4
6 nodoko prisma triangeluarra (`prism6n`)	2 puntuko araua	2
15 nodoko prisma triangeluarra (`prism15n`)	9 puntuko araua	9
8 nodoko hexaedroa (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20 nodoko hexaedroa (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4 nodoko laukia (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8 nodoko laukia (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3 nodoko triangelua (`tri3n`)	Puntu 1eko araua	1
6 nodoko triangelua (`tri6n`)	3 puntuko araua	3

Elementu hexaedriko, laukizuzen eta linealetarako, koordenatu-norabide bakoitzeko Gauss-Legendre arauaren produktu tentsorialak erabiltzen dira. Triangeluek, tetraedroek eta prisma triangeluarrek simplex motako geometriarako egokitutako arau bereziak erabiltzen dituzte (triangeluan bertan polinomioak zehazki integratzen dituzten puntu-antolamenduak).

Elementuen integrazioan aplikatzea¶

Elementuen integrazioan, koordenatu naturalak \(\boldsymbol{r}\) erabiltzen dira erreferentzia-domeinuaren koordenatu gisa (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), eta koordenatu fisikoetarako mapaketa nodo-koordenatuen interpolazioz ematen da forma-funtzioak erabiliz. Erreferentzia-konfigurazioaren aukeraren arabera (Analisi inkrementalaren esparrua), honako formulazioak erabiltzen dira.

Total Lagrange metodoa (erreferentzia-konfigurazioan \(\Omega^e_0\) integratzea): mapaketa eta Jacobiarra hauek dira

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

eta elementuaren barne-indarra eta zurruntasun-matrizea honela hurbiltzen dira

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

\(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) guztiak \(\boldsymbol{r}_i\) integrazio-puntuan ebaluatzen dira.

Updated Lagrange metodoa (uneko konfigurazioan \(\Omega^e\) integratzea): mapaketa eta Jacobiarra hauek dira

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

eta

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

hurbilketa gisa erabiltzen dira.

Bi formulazioen arteko alde bakarra mapaketari ematen zaizkion nodo-koordenatuak \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) edo \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) diren da; integrazio-puntuak, pisuak eta integrazio-puntuen begiztaren egitura berdinak dira.

Integrazio osoa eta integrazio murriztua¶

Integrakizunaren polinomio-maila zehazki integratzeko adina integrazio-puntu erabiltzen dituen integrazioari integrazio osoa deritzo; maila bat gutxiagoko integrazio-puntuak erabiltzen dituenari, berriz, integrazio murriztua. Integrazio murriztua ebakidura- eta bolumen-blokeoa arintzeko erabiltzen da, baina hourglass moduak bezalako deformazio-modu faltsuak tratatzea eskatzen du. Elementu mota bakoitzeko integrazio-puntuen kopurua eta integrazio osoaren/murriztuaren hautaketa Elementuen zenbakitze-sistema eta forma-funtzioen liburutegia eta ondorengo ataletan, eta Elementu-formulazio aurreratuak atalean lantzen dira.

Lotutako gaiak¶

Forma-funtzioen deribatu espazialak — Jacobiarraren kalkulua
Barne-indarren lan birtualaren diskretizazioa — Zenbakizko integrazioz ebaluatutako magnitudeak
Elementu-formulazio aurreratuak — Integrazio murriztuaren erabilera