Joan zuzenean edukira

Forma-funtzioen deribatu espazialak

Forma-funtzioak eta elementu finituen hurbilketa atalean sartutako \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) forma-funtzioa elementuaren koordenatu lokalak diren \(\boldsymbol{r}\) koordenatu naturalen funtzio gisa ematen da. Bestalde, forma ahularen integrakizunetan, deformazio–desplazamendu erlazioaren bidez, koordenatu fisikoekiko (erreferentzia-konfigurazioko \(\boldsymbol{X}\) edo uneko konfigurazioko \(\boldsymbol{x}\)) deribatu partzialak agertzen dira: \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) edo \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Kapitulu honetan forma-funtzioen deribatu espazial horiek elementu-nodoen koordenatuetatik eta koordenatu naturalekiko deribatuetatik kalkulatzeko prozedura antolatzen da.

Deribatu espazialen adierazpena katearen erregelaz

Katearen erregela aplikatuz \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) interpolazio-formulari (aurreko kapitulua), eta koordenatu naturaletatik koordenatu fisikoetarako mapaketaren Jacobi matrizea \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) erabiliz, honakoa lortzen da

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Hemen, \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) eta \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) \(n_e \times 3\) matrizeak dira, eta \(\alpha\) errenkadak \(\alpha\) nodoaren deribatu partzialen bektorea adierazten du.

Jacobi matrizearen eraketa

Interpolazio-formula \(\boldsymbol{r}\)-rekiko diferentziatuz,

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Beraz, Jacobi matrizea zuzenean eraiki daiteke elementu-nodoen \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) koordenatuetatik eta koordenatu naturalekiko \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) deribatuetatik. Koordenatu naturalekiko deribatuak forma-funtzioaren adierazpen funtzionalak zehazten ditu, eta elementu mota bakoitzerako aurrez inplementatuta daude.

Jacobi matrizearen determinantea, \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\), zenbakizko integrazioan erabiltzen da bolumen-elementua \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) moduan eraldatzeko. Determinantea \(0\) bada, elementua degeneratua da eta kalkuluak huts egiten du.

Kalkulu-fluxua

Aurreko deribaziotik, \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) deribatu espazialen kalkulua honako lau etapetan bana daiteke.

  1. Koordenatu naturalekiko deribatuen kalkulua: elementu mota eta ebaluazio-puntuaren \(\boldsymbol{r}\) koordenatu naturalak sarrera gisa erabiliz, \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) deribatu naturalen matrizea kalkulatzen da. Forma-funtzioen adierazpena elementu motaren arabera aldatzen denez, prozesua elementu motaren arabera adarkatzen da.
  2. Jacobi matrizearen kalkulua: elementu-nodoen \(\boldsymbol{X}^e\) koordenatuetatik eta \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)-tik, aurreko ataleko formularen bidez \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) Jacobi matrizea eratzen da.
  3. Alderantzizko matrizearen eta determinantearen kalkulua: Jacobi matrizearen alderantzizkoa \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) eta determinantea kalkulatzen dira. Determinantea zenbakizko integrazioaren pisuan erabiltzen da.
  4. Deribatu espazialen kalkulua: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) deribatu espazialak \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) eta \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) matrizeen biderkadura gisa lortzen dira.

Lau etapa horiek elementu motaren eta espazio-dimentsioaren (2D edo 3D) arabera adarkatzen dira, baina fluxu orokorra bera da.

Erreferentzia- eta uneko konfigurazioen tratamendu bateratua

Goiko prozedura uneko konfigurazioari ere aplika dakioke \(\boldsymbol{X}^e\) uneko nodo-koordenatuekin, \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\), ordezkatuta; horrela uneko konfigurazioko \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) deribatu espazialak lortzen dira. Beraz, Total Lagrange eta Updated Lagrange metodoetan prozedura bera erabil daiteke, sarrerako nodo-koordenatuak soilik aldatuta.

Erlazionatutako gaiak

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status