Joan zuzenean edukira

Elastikotasun lineala

Kapitulu honek material lineal elastikoen lege konstitutiboa (Hooke-ren legea) azaltzen du. Eredua hautatzeko eta sarrera-zehaztapenei buruzko xehetasunetarako, ikus funtzioen ataleko 03_material.

Fenomenoa (erantzun elastiko lineala)

Gorputz lineal elastikoa material bat da, non kargapean deformazioa nahikoa txikia den tartean tentsioaren eta deformazioaren arteko erlazio lineala agertzen den, eta erantzuna itzulgarria eta historiatik independentea den; deskargatzean deformazio guztia jatorrizko egoerara itzultzen da. Plastikotasunean edo creep-ean ez bezala, ez du egoera adierazten duen barne-aldagairik (deformazio plastikoa edo deformazio likatsua, adibidez), eta tentsioa uneko deformazioak soilik zehazten du modu bakarrean.

Deformazio txikien eremuan Cauchy tentsioa \(\boldsymbol{\sigma}\) eta deformazio infinitesimala \(\boldsymbol{\varepsilon}\) erabiltzen dira; deformazio finituen eremuan (biraketa handiak dituzten baina deformazioa bera txikia den problemak), bigarren Piola-Kirchhoff tentsioa \(\boldsymbol{S}\) eta Green-Lagrange deformazioa \(\boldsymbol{E}\) erabiltzen dira (St.Venant-Kirchhoff materiala).

Lege konstitutiboa

Material lineal elastiko isotropoa

Deformazio txikien eremuan, Hooke-ren lege isotropoa Lamé-ren \(\lambda, \mu\) konstanteen bidez honela adierazten da:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Osagaien forman:

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

eta deformazioarekiko kontrakzio bikoitzak \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) ematen du. Lamé-ren konstanteek Young-en moduluarekin \(E\) eta Poisson-en erlazioarekin \(\nu\) honako erlazioa dute:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt notazioan, deformazio-bektorearen \(\hat{\varepsilon}\) eta tentsio-bektorearen \(\hat{\sigma}\) arteko erlazioa \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) gisa idazten da, eta hiru dimentsioko material-matrizea \(D\) hau da:

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Matrize-adierazpen hau erabiltzen da inplementazioan.

Material lineal elastiko ortotropoa

Ardatz nagusiaren norabidearen arabera konstante elastiko desberdinak dituzten materialetarako, bederatzi konstante independenteko eredu ortotropoa erabiltzen da: ardatz nagusietako Young-en moduluak \(E_1, E_2, E_3\), ardatz nagusien arteko Poisson-en erlazioak \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) eta ebakidura-moduluak \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). \(D\) matrizearen forma espliziturako, ikus erreferentzia estandarrak.

Deformazio finituen eremua: St.Venant-Kirchhoff materiala

Biraketa handiak dituzten baina deformazioa bera txikia den problemetan, St.Venant-Kirchhoff materiala erabiltzen da bigarren Piola-Kirchhoff tentsioa \(\boldsymbol{S}\) eta Green-Lagrange deformazioa \(\boldsymbol{E}\) lotzen dituen lege elastiko lineal gisa:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé-ren \(\lambda, \mu\) konstanteen definizioak deformazio txikiko kasuko berak dira. Hala ere, tentsio-deformazio bikotearen definizioak desberdinak direnez, lege konstitutibo hau deformazio txikietarako Hooke-ren legetik desberdina da.

Material hipoelastikoa

Lagrange eguneratuaren metodoan, material hipoelastikoa erabiltzen da, Kirchhoff-en tentsio erlatiboaren tentsorearen Jaumann tasa \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) eta deformazio-tasaren tentsorea \(\boldsymbol{D}\) lotzen dituen lege elastiko linealarekin:

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Hemen ere, \(\boldsymbol{C}\)-ren definizioa Lamé-ren konstanteen bidez aurreko bera da, baina tentsio-deformazio bikotea desberdina denez, lege konstitutibo hau bestelakoa da. Denbora-integrazioaren prozeduraren bidez \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) nola eguneratzen den ikusteko (aurreranzko Euler integrazioa eta diferentzia zentralaren hurbilketa), ikus tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Bi dimentsioko analisi eta oskol-elementuetarako murrizketa

Tentsio laua (\(\sigma_{33} = 0\))

Plaka meheen eta oskolen karga adierazten duen tentsio lauan, \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) suposatzen da, eta planoz kanpoko deformazio-osagaia \(\varepsilon_{33}\) aljebraikoki ezabatuta duen \(D\) erabiltzen da:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Deformazio laua (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Lodiera-norabidean murriztutako egitura luze baten zeharkako sekzioa adierazten duen deformazio lauan, \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) suposatzen da:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Ardatz-simetrikoa

Analisi ardatz-simetrikoan, koordenatu zilindrikoetan \((r, \theta, z)\) \(\theta\) norabidean uniformeak diren problemak tratatzen dira; lau osagaiak, \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) eta \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), mantentzen dira, eta

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

lortzen da.

Oskol-elementuak (tentsio laua + zeharkako ebakidura)

Oskol-elementuetan, plano barruko tentsioa tentsio lau gisa tratatzen da, eta zeharkako ebakidura-deformazioaren osagaietarako \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\), \(\kappa\) ebakidura-zuzenketa faktorea (oro har \(\kappa = 5/6\)) aplikatzen da \(\kappa\, G\) erabiltzeko. Elementu bakoitzaren formulazio xehaturako, ikus Elementu-formulazio aurreratuak. Funtzioen ataleko 03_material-eko "oskol-elementuek elastikotasun lineala bakarrik onartzen dute" zehaztapena plano barruko egoera tentsio lau gisa tratatzeko sinplifikazio honetan oinarritzen da.

Tenperaturaren mendekotasuna

Young-en modulua \(E\), Poisson-en erlazioa \(\nu\) eta dilatazio linealaren koefizientea \(\alpha\) oro har tenperaturaren \(T\) funtzio gisa zehazten dira. FrontISTR-en, balioak \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) tenperatura-puntuen sekuentzia finitu baterako sartzen dira, eta kalkuluko \(T\) tenperaturan ondoko puntuen arteko interpolazio lineala erabiltzen da. Tarteaz kanpoko tenperaturetan (\(T < T_1\) edo \(T > T_n\)), hurbileneko muturreko \(T_1\) edo \(T_n\) balioa erabiltzen da estrapolaziorako (estrapolazio konstantea).

Propietate termikoen eta bero-eroapenekoen (dentsitatea, bero espezifikoa eta eroankortasun termikoa) tenperatura-mendekotasunerako, ikus Propietate termikoak. Interpolazio-arauak berdinak dira propietate horientzat.

Lotutako gaiak

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status