Keri sisuni

Mittestatsionaarne soojusjuhtivusanalüüs

Selles jaotises esitatakse lõplike elementide meetodil (FEM) tehtava tahkete kehade soojusjuhtivusanalüüsi aja diskretiseerimine ja iteratiivne lahendusmeetod. Kontiinumi põhivõrrandeid ja rajatingimusi vt jaotisest Soojusjuhtivuse võrrand.

Diskretiseeritud võrrand (lähtepunkt)

Soojusjuhtivuse võrrandi (soojusjuhtivuse võrrand (gov_he_main)) diskretiseerimine Galerkini meetodiga annab

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

kus

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Siin on \(K\), \(M\), \(F\) ja \(N\) vastavalt soojusjuhtivusmaatriks (sh konvektsiooni ja kiirguse rajapanused), massimaatriks, soojuskoormuse vektor ja kujufunktsioonide maatriks. Materjaliomaduste sümbolite (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) jne) määratlused järgivad jaotist Soojusjuhtivuse võrrand.

Aja diskretiseerimine ja iteratiivne lahendus

Võrrand \(\eqref{eq:2.4.8}\) on mittelineaarne mittestatsionaarne võrrand. Kui aja diskretiseerimiseks kasutatakse tagurpidi Euleri meetodit ja temperatuur hetkel \(t=t_0\) on teada, arvutatakse temperatuur hetkel \(t=t_0+\Delta t\) järgmise võrrandiga.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Vaatleme temperatuurivektori \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), mis rahuldab ligikaudu võrrandit \(\eqref{eq:2.4.13}\), parandamist, et saada täpsem lahend \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).

Selleks avaldame temperatuurivektori esmalt järgmiselt.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Soojusjuhtivusmaatriksi ja temperatuurivektori korrutis, massimaatriks ning seotud liikmed lähendatakse järgmiselt.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Asendades võrrandid \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) ja \(\eqref{eq:2.4.16}\) võrrandisse \(\eqref{eq:2.4.13}\) ning jättes teist ja kõrgemat järku liikmed kõrvale, saame järgmise võrrandi.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Vasaku poole kordajamaatriksit lähendatakse täiendavalt järgmise võrrandiga.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Siin on \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) puutujäikuse maatriks.

Lõpuks saab temperatuuri hetkel \(t=t_0+\Delta t\) arvutada järgmise võrrandi iteratiivse lahendamisega.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Statsionaarse analüüsi korral tehakse iteratiivsed arvutused eelkõige järgmise võrrandi abil.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Mittestatsionaarses analüüsis kasutatakse aja diskretiseerimiseks implitsiitset meetodit, mistõttu ajasammu \(\Delta t\) suurusele üldjuhul stabiilsuspiirangut ei ole. Kui ajasamm \(\Delta t\) on aga liiga suur, suureneb koondumiseks vajalike iteratsioonide arv. Üldiselt suurendab liiga suur ajasamm \(\Delta t\) iteratsioonide arvu. Teostuses jälgib automaatne sammujuhtimine jääkvektori suurust: aeglase koondumise korral vähendatakse \(\Delta t\) ja väikese iteratsioonide arvu korral suurendatakse \(\Delta t\) (→ üksikasju vt Sammu juhtimine).

Seotud teemad

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status