Sageduskarakteristiku analüüs¶

Probleemi formuleering¶

Sageduskarakteristiku analüüs hindab süsteemi püsirežiimi vastuse amplituudi ja faasi sageduspiirkonnas, kui välisjõud muutub ajas harmooniliselt. Kuna liikumise juhtvõrrandit käsitletakse summutusega ja summutuseta juhul erinevalt, tuletatakse selles peatükis esmalt summutuseta vabavõnkumise omavormid ja kasutatakse neid seejärel modaalse baasina summutatud harmoonilise vastuse laiendamiseks.

Summutuseta vabavõnkumine ja omavormid¶

Kui summutus jäetakse tähelepanuta, on liikumisvõrrand

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Siirde laiendamisel iga omavormi järgi saame

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Selle asendamine võrrandisse \(\eqref{eq:2.6.1}\) annab

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

See on üldistatud omaväärtusprobleem. Selle arvulisi lahendusmeetodeid, sealhulgas nihutatud pöörditeratsiooni ja Lanczose meetodit, käsitletakse jaotises Modaalanalüüs. Siin võetakse kokku saadud omasageduste ja omavormide omadused, mida kasutatakse järgnevas harmoonilise vastuse laienduses.

Omasageduste reaalsus¶

Omasageduse reaalsust saab näidata järgmiselt. Olgu \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Võrrandi \(\eqref{eq:2.6.3}\) komplekskonjugaadi võtmine annab võrrandi \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Korrutades väärtusega \(\overline{U}_J^T\), saame

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Võrrandist \(\eqref{eq:2.6.5}\) saame

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Kuna massimaatriks on sümmeetriline positiivselt määratud, kehtib nullist erineva omavektori korral

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Seega

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Järelikult on \(\omega_j^2 = \lambda_j\) reaalne.

Omavormide ortogonaalsus ja normeerimine¶

Vaatleme kahte erinevat moodi.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Sellest järeldub

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

ja erinevate omaväärtuste korral

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Seega on erinevad omavormid massimaatriksi suhtes ortogonaalsed. Sama moodi puhul muudab massimaatriksi suhtes normeerimine, nagu võrrandis \(\eqref{eq:2.6.12}\), järgneva käsitluse lihtsamaks.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Harmooniline vastus summutusega¶

Järgmisena esitatakse summutusega sageduskarakteristiku analüüsi formuleering. Liikumise juhtvõrrand on antud võrrandiga \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Eeldatakse Rayleigh' tüüpi summutust, mida väljendab võrrand \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Modaalanalüüsist saadud omavektoreid kasutades saab ajahetke t siirdevektori laiendada võrrandi \(\eqref{eq:2.6.15}\) kujul.

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Olgu välisjõu liige harmoonilisel kujul

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Seejärel määrame \(b_{j}(t)\). Kuna liikumisvõrrand \(\eqref{eq:2.6.13}\) on sundvõnkumise kujul, kehtib

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

Laiendusteguri \(b_{j}(t)\) reaal- ja imaginaarosa annavad vastavalt võrrandid \(\eqref{eq:2.6.18}i\) ja \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Nii saadakse soovitud harmoonilise vastuse koefitsiendid.

Seotud teemad¶

Modaalanalüüs — Aluseks oleva omaväärtusprobleemi formuleering
Dünaamilise analüüsi meetodid — Dünaamiline analüüs ajapiirkonnas
Analüüsitüübid — Sageduskarakteristiku analüüsi funktsionaalne ülevaade