Dünaamilise analüüsi meetodid¶

Selles jaotises kirjeldatakse dünaamiliste probleemide analüüsimeetodeid, milles kasutatakse otsest ajaintegreerimist. Allpool esitatakse implitsiitse ja eksplitsiitse meetodi formulatsioonid.

Liikumisvõrrandi diskretiseerimine (ühine raamistik)¶

TBD (täiendatakse järgmises etapis).

Implitsiitne meetod (Newmark-β meetod)¶

Dünaamiliste probleemide puhul rakendatakse allpool esitatud liikumisvõrrandi lahendamiseks otsest ajaintegreerimist.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Siin on \(M\) massimaatriks, \(C\) summutusmaatriks, \(Q\) sisejõuvektor ja \(F\) välisjõuvektor. Massimaatriks eeldatakse ka mittelineaarses analüüsis deformatsioonist sõltumatult konstantseks.

Siirde, kiiruse ja kiirenduse muutused ajasammu \(\Delta t\) jooksul lähendatakse Newmark-\(\beta\) meetodiga, nagu on näidatud võrrandites \(\eqref{eq:2.5.2}\) ja \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Siin on \(\gamma\) ja \(\beta\) Newmark-\(\beta\) meetodi parameetrid.

Nagu üldteada, vastavad järgmised \(\gamma\) ja \(\beta\) väärtused vastavalt lineaarse kiirenduse meetodile ja trapetsreeglile.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (lineaarse kiirenduse meetod)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapetsreegel)

Asendades võrrandid \(\eqref{eq:2.5.2}\) ja \(\eqref{eq:2.5.3}\) võrrandisse \(\eqref{eq:2.5.1}\), saadakse järgmine võrrand.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Eriti lineaarse probleemi korral on \(K_L\) lineaarne jäikusmaatriks ja \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Selle seose asendamisel ülaltoodud võrrandisse saadakse järgmine võrrand.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Kohtades, kus geomeetrilise piirtingimusena on ette antud kiirendus, saadakse siire võrrandist \(\eqref{eq:2.5.2}\) järgmiselt.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Samamoodi saadakse kohtades, kus on ette antud kiirus, siire võrrandist \(\eqref{eq:2.5.6}\) järgmiselt.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Siin on \(u_{is}(t+\Delta{t})\) sõlmesiire ajal \(t+\Delta{t}\), \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) sõlmekiirus ajal \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) sõlmekiirendus ajal \(t+\Delta{t}\), \(i\) on sõlme vabadusastme number ja \(s\) on sõlme number. Massi- ja summutusliikmeid käsitletakse järgmiselt.

Massiliikme käsitlemine¶

Põhimõtteliselt käsitletakse massimaatriksit koondatud massimaatriksina.

Summutusliikme käsitlemine¶

Summutusliiget käsitletakse Rayleigh' summutusena, mida väljendab võrrand \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Siin on \(R_m\) ja \(R_k\) Rayleigh' summutuse parameetrid.

Kaardil !DYNAMIC määratud \(R_m\) ja \(R_k\) väärtusi rakendatakse ühtlaselt kogu mudelile. Kui igale materjalile soovitakse määrata erinevad \(R_m\) ja \(R_k\) väärtused, määrake selle materjali !MATERIAL plokis kaart !DAMPING. Elementide puhul, mis kuuluvad materjali, millele on määratud !DAMPING, arvutatakse elemendi summutusmaatriks elemendi massimaatriksist \(M_i\) ja puutujäikusmaatriksist \(K_i\) kujul \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) ning koostatakse globaalsesse summutusmaatriksisse. See funktsioon kehtib ainult implitsiitse meetodi korral.

Eksplitsiitne meetod (keskdiferentsmeetod)¶

Eksplitsiitne meetod põhineb allpool esitatud liikumisvõrrandil ajal t.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Kui ajamomentidel \(t + \Delta t\) ja \(t - \Delta t\) olevad siirded esitada Taylori arendustena aja \(t\) ümber ja säilitada liikmed kuni \(\Delta t\) teise järguni, saadakse järgmised võrrandid.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Võrrandite \(\eqref{eq:2.5.3}\) ja \(\eqref{eq:2.5.4}\) vahe ning summa annavad järgmised võrrandid.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Asendades võrrandid \(\eqref{eq:2.5.12}\) ja \(\eqref{eq:2.5.13}\) võrrandisse \(\eqref{eq:2.5.9}\), saadakse järgmine võrrand.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Eriti lineaarse probleemi korral on \(Q(t) = K_L U(t)\) ja ülaltoodud võrrand muutub kujule

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Kui massimaatriks \(M\) võetakse koondatud massimaatriksina ja summutusmaatriks proportsionaalse summutusmaatriksina \(C = R_m M\), ei nõua võrrand \(\eqref{eq:2.5.15}\) lineaarvõrrandisüsteemi lahendamist.

Seetõttu saab võrrandist \(\eqref{eq:2.5.15}\) leida \(U(t+\Delta t)\) järgmise võrrandiga.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Seotud teemad¶

Analüüsitüübid — Dünaamilise analüüsi funktsioonide ülevaade ja valik
Viited