Keri sisuni

Füüsikaliste suuruste sümbolite loend

Sellel lehel on loetletud FrontISTR-i teooriajuhendis kasutatavate füüsikaliste suuruste sümbolid. Tähistusreeglite (vektorite ja tensorite paks kiri, Einsteini summeerimiskokkulepe ja Voigti tähistus) kohta vt Tensoritähistus ja matemaatilised alused.

Konfiguratsioonid ja koordinaatsüsteemid

Sümbol Kirjeldus
\(\boldsymbol{X}\) Materiaalse punkti asukohavektor referents- ehk algkonfiguratsioonis (materiaalkoordinaadid)
\(\boldsymbol{x}\) Materiaalse punkti asukohavektor hetkekonfiguratsioonis (ruumikoordinaadid)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Liikumise kujutus: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Keha hõivatud piirkond referentskonfiguratsioonis
\(\Omega\) Keha hõivatud piirkond hetkekonfiguratsioonis
\(\Gamma_0\) \(\Omega_0\) piir
\(\Gamma\) \(\Omega\) piir
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Geomeetriline (siirde) piir: hetk-/referentskonfiguratsiooni piir, millel määratakse \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Mehaaniline piir: hetk-/referentskonfiguratsiooni piir, millel määratakse \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (või \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))
\(\boldsymbol{n}\) Hetkekonfiguratsiooni pinna väljapoole suunatud ühiknormaalvektor
\(\boldsymbol{N}\) Referentskonfiguratsiooni pinna väljapoole suunatud ühiknormaalvektor
\(t\) Aeg

Kokkulepe: referentskonfiguratsiooni füüsikalisi suurusi tähistatakse suurtähtede või alaindeksiga \(0\), hetkekonfiguratsiooni suurusi väiketähtedega.

Aeg ja juurdekasvud (inkrementaalanalüüs)

Sümbol Kirjeldus
\(\Delta t\) Aja juurdekasv: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Füüsikaline suurus ajahetkel \(t\) (vasak ülaindeks). Näide: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) on Cauchy pinge ajahetkel \(t\)
\(^{t}\Omega\) Hetkekonfiguratsiooni piirkond ajahetkel \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Hetkekonfiguratsiooni piir ajahetkel \(t\)

Kokkulepe: inkrementaalanalüüsis käsitletakse olekut kuni ajahetkeni \(t\) teadaolevana ning olek ajahetkel \(t + \Delta t\) lahendatakse tundmatuna. Vasak ülaindeks jäetakse ära, kui aega pole vaja selgesõnaliselt märkida. Formulatsiooni, mis kasutab referentsina referentskonfiguratsiooni \(\Omega_0\), nimetatakse Total Lagrange'i formulatsiooniks; formulatsiooni, mis kasutab referentsina juurdekasvu alguse hetkekonfiguratsiooni \(^{t}\Omega\), nimetatakse Updated Lagrange'i formulatsiooniks.

Siire, kiirus, kiirendus ja mahujõud

Sümbol Kirjeldus
\(\boldsymbol{u}\) Siirdevektor: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Geomeetrilisel piiril \(\Gamma_B\) määratud siire
\(\delta \boldsymbol{u}\) Virtuaalne siire (testfunktsioon): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) piiril \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Kiirusvektor: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Kiirendusvektor: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Mahujõud (massiühiku kohta)
\(\boldsymbol{t}\) Pinnajõuvektor (pinnaühiku kohta): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Mehaanilisel piiril \(\Gamma_t\) määratud pinnajõud (Neumanni andmed)

Diferentsiaaloperaatorid

Sümbol Kirjeldus
\(\dot{(\cdot)}\) Materiaalne ajatuletis (sama materiaalset punkti järgiva suuruse ajatuletis): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Referentskonfiguratsiooni gradient (gradient materiaalkoordinaatide \(\boldsymbol{X}\) järgi): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Hetkekonfiguratsiooni gradient (gradient ruumikoordinaatide \(\boldsymbol{x}\) järgi): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Sümmeetriline gradientoperaator: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Märkus: \(\nabla_X\) ja \(\nabla_x\) on seotud seosega \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Alaindeksita gradienti \(\nabla\) kasutatakse siis, kui konfiguratsioon on kontekstist selge või kui erinevus kaob, näiteks väikeste deformatsioonide probleemides.

Deformatsioonitensorid

Sümbol Kirjeldus
\(\boldsymbol{F}\) Deformatsioonigradiendi tensor: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Mahusuhe: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Parempoolne Cauchy-Greeni deformatsioonitensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Vasakpoolne Cauchy-Greeni deformatsioonitensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Kiirusgradiendi tensor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Deformatsioonikiiruse tensor (\(\boldsymbol{L}\) sümmeetriline osa): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Pöörlemistensor (\(\boldsymbol{L}\) antisümmeetriline osa): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Deformatsioonimõõdu tensorid

Sümbol Kirjeldus
\(\boldsymbol{E}\) Green-Lagrange'i deformatsioonitensor (referentskonfiguratsioon): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Almansi deformatsioonitensor (hetkekonfiguratsioon): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi deformatsioonitensori lineaarne osa (sümmeetriline siirdegradient hetkekonfiguratsioonis): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Infinitesimaalne deformatsioonitensor (lineaarne lähendus): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Märkus: \(\boldsymbol{E}\) kasutatakse peamiselt Total Lagrange'i formulatsioonis, \(\boldsymbol{D}\) peamiselt Updated Lagrange'i formulatsioonis.

Pingetensorid

Sümbol Kirjeldus
\(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy pingetensor (tõeline pinge, hetkekonfiguratsioon): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Esimene Piola-Kirchhoffi pingetensor (nominaalpinge): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Teine Piola-Kirchhoffi pingetensor (referentskonfiguratsioon, sümmeetriline): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Pingetensorite teisendusseosed:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Kokkulepe: Total Lagrange'i formulatsioon kasutab paari \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), Updated Lagrange'i formulatsioon paari \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Tihedus ja mass

Sümbol Kirjeldus
\(\rho\) Massitihedus hetkekonfiguratsioonis
\(\rho_0\) Massitihedus referentskonfiguratsioonis

Massi jäävus: \(\rho_0 = J\rho\).

Materjalikonstandid (lineaarne elastsus)

Sümbol Kirjeldus
\(E\) Youngi moodul
\(\nu\) Poissoni tegur
\(\lambda\) Esimene Lamé konstant: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Teine Lamé konstant (nihkemoodul): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Elastsustensor (neljandat järku): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponendid \(C_{ijkl}\)
\(D\) (või \(\hat{\tilde{C}}\)) Materjalimaatriks (Voigti tähistus, 3D-s \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Isotroopse lineaarse elastse materjali elastsustensori komponendid:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Hüperelastsed materjalid

Sümbol Kirjeldus
\(W(\boldsymbol{C})\) Elastne potentsiaalifunktsioon (deformatsioonienergia tiheduse funktsioon)
\(I_1, I_2, I_3\) Parempoolse Cauchy-Greeni tensori \(\boldsymbol{C}\) peainvariandid
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) \(\boldsymbol{C}\) redutseeritud invariandid (mahumuutus eraldatud)
\(C_1, C_2\) Mooney-Rivlini mudeli materjalikonstandid
\(D\) Mahuelastsusega seotud materjalikonstant

Elastoplastsed materjalid

Sümbol Kirjeldus
\(\boldsymbol{D}^e\) Deformatsioonikiiruse tensori elastne komponent
\(\boldsymbol{D}^p\) Deformatsioonikiiruse tensori plastne komponent
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Voolavusfunktsioon
\(\kappa\) Plastset olekut kirjeldav sisemuutuja (isotroopse kõvenemise muutuja)
\(\lambda^p\) Plastne kordaja (plastse deformatsioonikiiruse kordaja): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Plastne potentsiaal (\(\Theta = F\) assotsieerunud voolureegli korral)
\(\bar{\sigma}\) Ekvivalentpinge (nt von Misesi pinge)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Ekvivalentne plastne deformatsioon
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Isotroopse kõvenemise funktsioon

Komplementaarsustingimus: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Lõplike elementide meetod

Sümbol Kirjeldus
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Lõplike elementidega diskretiseeritud hetk- ja referentskonfiguratsiooni piirkonnad: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Elemendi piirkond hetk- ja referentskonfiguratsioonis
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Elemendi piiri osa, mis kuulub mehaanilisele piirile
\(\boldsymbol{r}\) Naturaalkoordinaadid (elemendi lokaalkoordinaadid)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Sõlmele \(\alpha\) vastav punkt naturaalkoordinaatides
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Elemendi \(e\) sõlmele \(\alpha\) vastav kujufunktsioon
\(n_e\) Elementi moodustavate sõlmede arv
\(n_g\) Globaalsete sõlmede koguarv
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Elemendi sõlme \(\alpha\) koordinaadid ja siire
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Elemendi sõlmekoordinaatide ja siirete vektorid: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), jne
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Globaalsed sõlmekoordinaatide ja siirete vektorid (järjestatud sõlmenumbri, seejärel vabadusastme järgi)
\(\boldsymbol{B}\) Deformatsiooni-siirde seose maatriks (B-maatriks)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Kujufunktsioonimaatriks: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) on \(d \times d\) plokk, mille diagonaalil on sõlme \(\alpha\) kujufunktsioon \(N_\alpha^e\), ja \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Elemendi jäikusmaatriks
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Elemendi jäikusmaatriksi integraalialused (referents- ja hetkekonfiguratsioonis): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-formulatsioon), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-formulatsioon) Elemendi sisejõuvektor
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Elemendi sõlmele \(\alpha\) mõjuv sõlme välisjõud ja elemendi sõlmede välisjõuvektor: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Globaalne sisejõuvektor ja globaalne välisjõuvektor: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); analoogselt \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Globaalse sõlme \(i_g\) sõlme sisejõud ja sõlme välisjõud (\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) sõlmeplokid)
\(\boldsymbol{K}\) Globaalne puutujäikusmaatriks: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Maatriks, mis saadakse \(3\times 3\) ploki \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) paigutamisel reale \(i_g\), veergu \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Newtoni-Raphsoni iteratsiooni jääkvektor: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Newtoni-Raphsoni iteratsiooni parandus (saadakse iteratsioonil \(i\) lineaarvõrrandi \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) lahendamisel)
\(i_g\) Globaalne sõlmenumber (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Elemendi \(e\) lokaalsele sõlmenumbrile \(\alpha\) vastav globaalne sõlmenumber: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Globaalsele sõlmenumbrile \(i_g\) vastavate paaride \((e, \alpha)\) hulk: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Kasutatakse koostamisoperatsioonides
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Globaalsete sõlmenumbrite paarile \((i_g, i_h)\) vastavate kolmikute \((e, \alpha, \beta)\) hulk; kasutatakse jäikusmaatriksi koostamisel
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Elementi moodustavate sõlmede indeksid
\(i, j, k, l, \ldots\) Vabadusastmete indeksid (3D-s \(1, 2, 3\))

Täiustatud elemendid ja konstruktsioonielemendid

Sümbol Kirjeldus
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) B-bar meetodiga muudetud mahulise osaga deformatsiooni-siirde seose maatriks (mahuline komponent asendatakse elemendi keskmes hinnatud B-maatriksiga)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) F-bar meetodiga muudetud mahulise osaga deformatsioonigradient: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Elemendi keskmes \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) hinnatud deformatsioonigradiendi mahusuhe: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Ühildumatu moodiga elemendi sisemine vabadusastmevektor (täiendavate siirdemoodide kordajad, mis ei jõusta elemendi piiril pidevust)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Ühildumatute moodide kujufunktsioonid: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Koorelemendi paksus
\(A\) Talaelemendi ristlõike pindala
\(I\) Talaelemendi ristlõike teine pinnamoment
\(G\) Nihkemoodul: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

Seotud teemad

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status