Tensoritähistus ja matemaatilised alused¶

Selles peatükis koondatakse FrontISTR-i teooriajuhendi järgnevates peatükkides kasutatavad tensor-, indeks- ja Voigti tähistuse konventsioonid. Siin kirjeldatakse ainult puhtaid tähistusreegleid, mis ei sõltu füüsikaliste suuruste definitsioonidest. Pidevkeha liikumise konfiguratsioonist (võrdlus-/praegune konfiguratsioon) sõltuvad tähistuskonventsioonid, näiteks suur- ja väiketähtede ning materiaalsete ja ruumiliste tuletiste eristus, on toodud jaotises Liikumine, deformatsioon ja deformatsioonimõõt, kus konfiguratsiooni mõiste sisse tuuakse.

Tensoritähistus¶

Vektorite ja tensorite paks kiri¶

Tüpograafilise konventsioonina kirjutatakse skalaarsuurused ja vektorite ning tensorite komponendid tavakirjas (näiteks \(\rho\) ja \(x_i\)), vektor- ja tensorsuurused ise aga paksus kirjas (näiteks \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) ja \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Einsteini summeerimiskonventsioon¶

Kui pole teisiti öeldud, kasutatakse Einsteini summeerimiskonventsiooni: kui sama indeks esineb ühes liikmes kaks korda, summeeritakse selle indeksi üle. Näiteks

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

ning tensorite \(\boldsymbol{A}\) ja \(\boldsymbol{B}\) korrutise \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) komponent \(i,j\) on

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Indeksikonventsioonina tähistavad \(i, j, k, l, \ldots\) täiendava täpsustuseta kasutamisel vabadusastmetega seotud indekseid (kolmes mõõtmes \(1, 2, 3\)), samas kui väikesed kreeka tähed \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) indeksitena tähistavad elementi moodustavate sõlmedega seotud indekseid.

Sisekorrutis, transponeerimine ja tensorkorrutis¶

Tensori \(\boldsymbol{A}\) transpooni tähistatakse \(\boldsymbol{A}^T\). Teist järku tensorite \(\boldsymbol{A}\) ja \(\boldsymbol{B}\) sisekorrutis (topeltkontraktsioon) kirjutatakse kujul

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Vektorite \(\boldsymbol{a}\) ja \(\boldsymbol{b}\) sisekorrutis on \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\) ning nende tensorkorrutis on \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigti tähistus¶

Pinge ja deformatsioon on vabadusastmete suhtes sümmeetrilised teist järku tensorid ning nende lineaarset seost väljendavad koefitsiendid moodustavad neljandat järku tensori. Nende otsene käsitlemine programmis on arvutuskulu ja kodeerimise seisukohalt ebasoodne (mitmemõõtmelised massiivid ja sügavalt pesastatud tsüklid). Seetõttu kasutavad üldised lõplike elementide programmid sümmeetriat ning tihendavad pinge ja deformatsiooni veeruvektoriteks ning neljandat järku elastsustensori kahemõõtmeliseks maatriksiks. Seda nimetatakse Voigti tähistuseks.

Edaspidi tähistatakse tensorsuuruse \(\boldsymbol{A}\) maatriks- või vektoresitust sümboliga \(\hat{A}\), et eristada seda algsest tensorist.

Pinge ja deformatsiooni vektoresitus¶

Sümmeetrilise pingetensori \(\boldsymbol{\sigma}\) ja deformatsioonitensori \(\boldsymbol{\varepsilon}\) korral on kahes mõõtmes

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

ning kolmes mõõtmes

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

käsitletakse neid ülal näidatud veeruvektoritena. Sama reegel kehtib tuletatud suurustele, näiteks variatsioonidele ja diferentsiaalidele. Pange tähele, et deformatsiooni nihkekomponentidel on tegur 2 (pinge poolel seda pole). Selle asümmeetria tõttu saab tensori sisekorrutise kompaktselt kirjutada vektori sisekorrutisena

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Implementatsioonis on nihkedeformatsiooni komponentide tegurit 2 lihtne valesti käsitleda, seega tuleb alati meeles pidada konventsiooni „pingel puudub / deformatsioonil on”. Täpselt sama Voigti konventsiooni rakendatakse võrdluskonfiguratsiooni suurustele (teine Piola-Kirchhoffi pinge \(\boldsymbol{S}\) ja Green-Lagrange'i deformatsioon \(\boldsymbol{E}\)).

Neljandat järku tensori maatriksesitus¶

Pinge ja deformatsiooni lineaarse seose \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (komponentkujul \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) korral annab \(\boldsymbol{\varepsilon}\) sümmeetria

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Kolmes mõõtmes võimaldab \(\tilde{C}\) paigutamine 6×6 materjalimaatriksiks \(\hat{\tilde{C}}\) esitada algse tensorseose kujul

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Edaspidi tähistatakse selles juhendis materjalimaatriksit, kui pole teisiti öeldud, sümboliga \(D\) (või \(\hat{C}\)). Isotroopse lineaarse elastsuse konkreetseid komponente vt Lineaarne elastsus.

Diferentsiaaloperaatorite konventsioonid¶

Sümmeetriline gradientoperaator¶

Vektorvälja \(\boldsymbol{u}\) sümmeetriline gradientoperaator \(\nabla_S\) defineeritakse kujul

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Komponentkujul on \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Infinitesimaalse deformatsiooni \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) saab selle operaatori abil kompaktselt esitada. Lõpliku deformatsiooni gradientide võrdlus-/praeguse konfiguratsiooni eristust käsitletakse jaotises Liikumine, deformatsioon ja deformatsioonimõõt.

Materiaalne ajatuletis¶

Suuruse \(A\) materiaalset ajatuletist (sama materiaalset punkti järgivat ajatuletist) tähistatakse ülapunktiga \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Kiirus ja kiirendus järgivad seda konventsiooni.

Seotud teemad¶

Liikumine, deformatsioon ja deformatsioonimõõt — Võrdlus-/praeguse konfiguratsiooni mõisted ja konfiguratsioonist sõltuvad tähistuskonventsioonid (suured/väikesed tähed, materiaalsed/ruumilised tuletised)
Pinge ja jäävusseadused — Juhtvõrrandite tuletamine selle tähistuse abil
Virtuaaltöö printsiip — Nõrga kuju ja Voigti tähistuse kasutamine
Lineaarne elastsus — Materjalimaatriksi \(D\) konkreetne kuju
Kujufunktsioonid ja lõplike elementide lähendus — Elemendijäikuse arvutamine Voigti tähistuses