Soojusjuhtivuse võrrand¶

Selles peatükis võetakse kokku FrontISTR-is käsitletava soojusjuhtivuse juhtvõrrand pidevkeha tasandil ja selle piirtingimused. Ajaline diskreetimine ja FEM-diskreetimine on jäetud diskreetimise jaotise (L3d) ja lahendusalgoritmide jaotise (L3e: solution_methods/05_transient_heat) käsitleda.

Juhtvõrrand¶

Soojusjuhtivuse võrrand pidevkehas on järgmine.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Siin tähistab \(\rho=\rho(x)\) massitihedust, \(c=c(x,T)\) erisoojust, \(T=T(x,t)\) temperatuuri, \(k=k(x,T)\) soojusjuhtivust, \(Q=Q(x,T,t)\) soojuseraldust, \(x\) asukohta ja \(t\) aega. \(k_x, k_y, k_z\) on anisotroopse soojusjuhtivuse vastavate suundade soojusjuhtivused.

Konkreetsete soojusomaduste, sealhulgas temperatuurisõltuvuse ja anisotroopia kohta vt Soojusomadused.

Piirtingimused¶

Olgu vaadeldav domeen \(S\) ja selle piir \(\Gamma\). Eeldades, et kogu piiril \(\Gamma\) on määratud kas Dirichlet' või Neumanni tüüpi piirtingimus, on piirtingimused järgmised.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]

\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Siin eeldatakse, et \(T_1\) ja \(q\) funktsionaalne kuju on teada. \(q\) on piirilt väljuv soojusvoog. Piiri soojusvoog \(q\) koosneb järgmisest kolmest komponendist.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Siin on \(q_s\) jaotatud soojusvoog, \(q_c\) konvektiivsest soojusülekandest tingitud soojusvoog ning \(q_r\) kiirguslikust soojusülekandest tingitud soojusvoog.

Siin on \(Tc=Tc(x,t)\) konvektiivse soojusülekande ümbrustemperatuur, \(hc=hc(x,t)\) konvektiivse soojusülekande tegur, \(Tr=Tr(x,t)\) kiirgusliku soojusülekande ümbrustemperatuur, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) kiirgusliku soojusülekande tegur, \(\varepsilon\) emissioonitegur, \(\sigma\) Stefan-Boltzmanni konstant ja \(F\) vaatenurgategur.

Nende tingimuste sisendfailis määramise kohta vt funktsiooniviite jaotist Piirtingimused ja koormused.

Nõrk kuju¶

Sidumine struktuurianalüüsiga¶

Seotud teemad¶

Mittestatsionaarne soojusjuhtivus — Ajaline diskreetimine ja mittelineaarne iteratsioon
Soojusomadused — Materjaliomaduste ja temperatuurisõltuvuse formuleering
Kujufunktsioonid ja lõplike elementide lähendus — FEM-diskreetimise raamistik
Funktsiooniviide: Piirtingimused ja koormused — Soojusjuhtivuse analüüsi piirtingimuste sisend