Inkrementanalüüsi raamistik¶

Inkrementanalüüsi vajadus¶

Nagu eespool kirjeldatud, saab väikese deformatsiooni probleemide analüüsimisel teha lõplike elementide analüüsi, kasutades virtuaaltöö printsiipi, mis on tasakaaluvõrrandite ja muude põhivõrranditega ekvivalentne, ning diskreetides selle võrrandi lõplike elementidega. Sama põhilist virtuaaltöö printsiipi kasutatakse ka konstruktsioonide suuri deformatsioone hõlmavate lõpliku deformatsiooni probleemide analüüsis.

Lõpliku deformatsiooni probleemides muutub virtuaaltöö printsiibi võrrand siirde suhtes mittelineaarseks isegi siis, kui eeldatakse materjali lineaarsust. Mittelineaarsete võrrandite lahendamiseks tehakse tavaliselt iteratiivmeetodiga kordusarvutusi.

Nendes kordusarvutustes kasutatakse inkrementanalüüsi meetodit: arvutus tehakse osade kaupa väikeste koormusinkrementide jaoks ning inkremente summeeritakse kuni lõpliku deformeerunud olekuni. Väikese deformatsiooni eelduse korral ei eristata deformatsiooni ja pinge määratlemisel eraldi konfiguratsioone enne ja pärast deformatsiooni. Teisisõnu ei ole väikese deformatsiooni eelduse korral oluline, kas põhivõrrandite kirjeldamiseks kasutatakse deformatsioonieelset või -järgset konfiguratsiooni.

Kui lõpliku deformatsiooni probleemile rakendatakse inkrementanalüüsi, sõltub formuleering sellest, kas võrdluskonfiguratsiooniks võetakse algkonfiguratsioon või inkremendi alguse konfiguratsioon. Esimest nimetatakse täieliku Lagrange'i meetodiks ja teist uuendatud Lagrange'i meetodiks. Üksikasju vt peatüki lõpus toodud viidetest ja seotud materjalidest.

Lähtevõrrand: virtuaaltöö printsiip ajahetkel \(t'\)¶

Vaatleme inkrementanalüüsi, milles olek kuni ajahetkeni \(t\) on teada ning olek ajahetkel \(t' = t + \Delta t\) on tundmatu (vt joonis 2.2.1). Tasakaaluvõrrandid, piirtingimused ja virtuaaltöö printsiip ajahetkel \(t'\) (esitatuna praeguses konfiguratsioonis Cauchy pinge \(^{t'}\sigma\) ja Almansi deformatsiooni lineaarosa \(^{t'} A_{(L)}\) abil) on toodud jaotises Virtuaaltöö printsiip.

Joonis 2.2.1 Inkrementanalüüsi kontseptsioon

Kuna see lähtevõrrand on aga kirjutatud ajahetke \(t'\) (tundmatus) konfiguratsioonis, valitakse tegelikus lahendusprotseduuris võrdluskonfiguratsiooniks kas algkonfiguratsioon \(0\) ajahetkel \(V\) või praegune konfiguratsioon \(t\) ajahetkel \(^{t'} v\), kirjutatakse võrrand inkrementkujule ning lahendatakse:

• Täieliku Lagrange'i meetod — Võrdlusena kasutatakse algkonfiguratsiooni \(V\). Kasutatakse teist Piola-Kirchhoffi pinget \(\boldsymbol{S}\) ja Green-Lagrange'i deformatsiooni \(\boldsymbol{E}\).
• Uuendatud Lagrange'i meetod — Võrdlusena kasutatakse inkremendi alguse praegust konfiguratsiooni \(^{t}v\). Kasutatakse Cauchy pinget \(\boldsymbol{\sigma}\) ja Almansi deformatsiooni lineaarosa \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

Mõlema formulatsiooni ruumilise diskreetimise (B-maatriks ja sisejõuvektor) kohta vt Sisemise virtuaaltöö diskreetimine; lineariseerimise ja puutujäikuse koostamise kohta vt Puutujäikusmaatriks.

Seotud teemad¶

• Virtuaaltöö printsiip — Peamine lähtevõrrand (nõrk kuju praeguses ja algkonfiguratsioonis)
• Sisemise virtuaaltöö diskreetimine — B-maatriksid ja sisejõuvektorid TL/UL jaoks
• Puutujäikusmaatriks — Lineariseerimisel saadud \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\)
• Newton-Raphsoni meetod — Iteratiivne algoritm