Keri sisuni

Virtuaaltöö printsiip

Lähtudes jaotises Pinge ja jäävusseadused tuletatud tasakaaluvõrrandist ja rajatingimustest, tuletame virtuaaltöö printsiibi, mis on kontiinumimehaanika rajaväärtusülesande nõrk vorm. Lõplike elementide diskretiseerimine algab sellest nõrgast vormist. Peatükis esitatakse nii hetkekonfiguratsiooni kuju (Cauchy pinge ja Almansi deformatsiooni lineaarse osa kaudu) kui ka võrdluskonfiguratsiooni kuju (teise Piola-Kirchhoffi pinge ja Green-Lagrange’i deformatsiooni kaudu), näidatakse nende samaväärsust ning seejärel taandumist väikeste deformatsioonide juhule.

Tasakaaluvõrrand ja rajatingimused

Olgu \(\boldsymbol{g}\) kontiinumile massiühiku kohta mõjuv mahujõud ning vaatleme keha, mis hõivab hetkekonfiguratsioonis piirkonna \(\Omega\). Piir \(\Gamma\) jaotatakse geomeetriliseks piiriks \(\Gamma_B\), millel on ette antud nihe \(\bar{\boldsymbol{u}}\), ja mehaaniliseks piiriks \(\Gamma_t\), millel on ette antud pinnajõud \(\bar{\boldsymbol{t}}\), nii et \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) ja \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Staatilise ülesande tasakaaluvõrrand saadakse jaotises Pinge ja jäävusseadused toodud impulsi jäävuse seadusest inertsi termini väljajätmisega:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{domeenis} \ \Omega \]

Rajatingimused on

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{piiril} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{piiril} \ \Gamma_B \]

Edaspidi tuletatakse virtuaaltöö printsiip tasakaaluvõrrandi ja mehaanilise rajatingimuse \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) nõrga vormina. Geomeetriline rajatingimus \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) võetakse arvesse testfunktsiooni valiku kaudu.

Nõrk vorm hetkekonfiguratsioonis

Nõrgas vormis määratleme tundmatu nihke lubatud ruumi ja testfunktsioonide ruumi vastavalt kujul

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{piiril} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{piiril} \ \Gamma_B \} \]

Siin on \(d\) ruumimõõde, \(H^1(\Omega)\) Sobolevi ruum funktsioonidest, mille nii väärtused kui ka esimesed nõrgad tuletised on ruutintegreeruvad, ning \(\delta\) tähistab variatsiooni. Hetkekonfiguratsiooni esituses on \(\Omega\) deformeerunud konfiguratsioon; tegelikus numbrilises lahenduses tõmmatakse see tagasi võrdluskonfiguratsiooni või teadaolevasse vahekonfiguratsiooni.

Korrutades tasakaaluvõrrandi kaalufunktsiooniga \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) ning rakendades Gaussi divergentsiteoreemi ja mehaanilist rajatingimust, saame järgmise hetkekonfiguratsiooni virtuaaltöö printsiibi.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Siin on \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi deformatsioonitensori lineaarne osa, mis defineeritakse kujul

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Selle variatsioon on \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Seega otsime \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\), mille korral virtuaaltöö võrrand kehtib iga \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) jaoks. Vasak pool on sisejõudude virtuaaltöö, parem pool aga etteantud pinnajõu ja mahujõu põhjustatud välisjõudude virtuaaltöö.

Kuna see võrrand on kirjutatud deformeerunud ehk hetkekonfiguratsiooni piirkonnas, valitakse tegelikus lahendusprotseduuris algkonfiguratsioon \(\Omega_0\) või teadaolev vahekonfiguratsioon võrdluskonfiguratsiooniks, võrrand kirjutatakse inkrementaalkujule ja lahendatakse. Võrdluskonfiguratsiooni konkreetset valikut (Total Lagrange / Updated Lagrange) ja inkrementaalset lahutust vt jaotisest Inkrementaalanalüüsi raamistik.

Nõrk vorm algkonfiguratsioonis

Vaatleme keha, mis hõivab võrdluskonfiguratsioonis piirkonna \(\Omega_0\), kus piir \(\Gamma_0\) on jaotatud osadeks \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Hetkekonfiguratsiooni esituse tagasitõmbamisel võrdluskonfiguratsiooni saadakse konjugeeritud pinge-deformatsiooni paar: teine Piola-Kirchhoffi pinge \(\boldsymbol{S}\) ja Green-Lagrange’i deformatsioon \(\boldsymbol{E}\). Algkonfiguratsiooni virtuaaltöö printsiip on siis

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Siin on \(\rho_0\) massitihedus võrdluskonfiguratsioonis ning massijäävuse seose \(\rho_0 = J\rho\) tõttu on see samaväärne hetkekonfiguratsiooni mahujõu esitusega.

Hetke- ja algkonfiguratsiooni esituste samaväärsus

Kahe esituse sisejõudude virtuaaltöö langeb kokku deformatsioonigradiendi \(\boldsymbol{F}\) ja ruumalasuhte \(J = \det \boldsymbol{F}\) kaudu tehtava teisenduse tõttu, s.t.

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Välisjõu liikmed on samuti samaväärsed massijäävuse ja pinnajõu teisenduse tõttu. Seetõttu väljendavad hetkekonfiguratsiooni ja algkonfiguratsiooni virtuaaltöö võrrandid sama printsiipi eri konfiguratsioonides. Võrdluskonfiguratsioonile viitav lahendusmeetod vastab Total Lagrange’i meetodile, hetkekonfiguratsioonile (vahetult eelnevale koondunud konfiguratsioonile) viitav meetod aga Updated Lagrange’i meetodile.

Taandumine väikeste deformatsioonide juhule

Väikeste deformatsioonide eeldustel \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) ja \(J \approx 1\) kaob hetkekonfiguratsiooni ja võrdluskonfiguratsiooni erinevus, teine PK-pinge langeb kokku Cauchy pingega (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)) ning nii Green-Lagrange’i deformatsioon kui ka Almansi deformatsiooni lineaarne osa taanduvad infinitesimaalseks deformatsiooniks \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Virtuaaltöö printsiip taandub siis Cauchy pinge \(\boldsymbol{\sigma}\) ja infinitesimaalse deformatsiooni \(\boldsymbol{\varepsilon}\) kaudu väljendatud nõrgaks vormiks:

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{piiril} \ \Gamma_B \]

Seda nõrka vormi kasutatakse otse väikeste deformatsioonide lineaarse elastse staatilise analüüsi diskretiseerimisel (jaotis Lineaarne elastne staatiline analüüs (sissejuhatus ja lisa) lähtub sellest vormist ja näitab elemendi jäikuse \(\boldsymbol{K}^e\) koostamist globaalse võrrandi \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) assembleerimise kaudu).

Asendades lineaarse elastse konstitutiivse seaduse \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) ja kirjutades Voigti tähistuses \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), saame nõrgaks vormiks

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

mis ongi soovitud kuju.

Seotud teemad

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status