Pinge ja jäävusseadused¶

Selles peatükis süstematiseeritakse pingetensorite määratlused ja omavahelised seosed ning massi, impulsi ja impulsimomendi jäävusest tuletatavad tasakaaluvõrrandid ja pinge sümmeetria. Kolm pingetensorit — Cauchy pinge \(\boldsymbol{\sigma}\), esimene Piola-Kirchhoffi pinge \(\boldsymbol{P}\) ja teine Piola-Kirchhoffi pinge \(\boldsymbol{S}\) — tuuakse sisse vastavalt sellele, millist konfiguratsiooni kasutatakse võrdluspinna ja jõuvektori jaoks. Konfiguratsiooni, liikumise ja deformatsioonigradiendi määratlusi vt jaotisest Liikumine, deformatsioon ja venivus ning sümbolite loendit jaotisest Füüsikaliste suuruste sümbolite loend.

Cauchy pingetensor¶

Olgu \(d\boldsymbol{f}\) jõud, mis mõjub hetkekonfiguratsiooni punktis \(\boldsymbol{x}\) infinitesimaalsele pinnale (pindala \(d\Gamma\), väljapoole suunatud ühiknormaal \(\boldsymbol{n}\)), ning defineerime pinnajõuvektori \(\boldsymbol{t}\) jõuna pindalaühiku kohta seosega \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) sõltub nii asukohast \(\boldsymbol{x}\) kui ka normaalist \(\boldsymbol{n}\). Impulsi jäävuse rakendamine infinitesimaalsele tetraeedrile näitab, et \(\boldsymbol{t}\) sõltub lineaarselt \(\boldsymbol{n}\)-st, mistõttu leidub teist järku tensor \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\), mille korral

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

iga \(\boldsymbol{n}\) korral (Cauchy pingeteoreem). Tensorit \(\boldsymbol{\sigma}\) nimetatakse Cauchy pingetensoriks ning ka tõeliseks pingeks, sest see väljendab jõudu pindalaühiku kohta hetkekonfiguratsiooni geomeetria suhtes. Komponent \(\sigma_{ij}\) on hetkekonfiguratsioonis koordinaatteljega \(x_j\) risti olevale infinitesimaalsele pinnale mõjuva pindalaühiku jõu \(x_i\)-suunaline komponent.

Nagu allpool impulsimomendi jäävusest näidatakse, on Cauchy pinge sümmeetriline tensor:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Kolmemõõtmelisel juhul on sellel seetõttu kuus sõltumatut komponenti (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Pinge vektoriseerimine Voigti tähistuses eeldab seda sümmeetriat (vt Tensorite tähistus ja matemaatilised alused). Cauchy pinget kasutatakse pinge väljundina FrontISTR-i Updated Lagrange’i meetodiga geomeetriliselt mittelineaarses analüüsis ja väikeste deformatsioonide analüüsis.

Esimene ja teine Piola-Kirchhoffi pinge¶

Lõplike deformatsioonide korral on sageli mugav väljendada pinget võrdluskonfiguratsiooni pindade ja vektorite suhtes, mistõttu tuuakse sisse kaks Piola-Kirchhoffi pingetensorit. Olgu võrdluskonfiguratsiooni infinitesimaalse pinna pindala \(d\Gamma_0\) ja selle väljapoole suunatud ühiknormaal \(\boldsymbol{N}\).

Esimene Piola-Kirchhoffi pinge (esimene PK-pinge, nimipinge) \(\boldsymbol{P}\) defineeritakse pingetensorina, mis saadakse hetkekonfiguratsiooni jõu \(d\boldsymbol{f}\) rakendamisel võrdluskonfiguratsiooni infinitesimaalsele pinnale:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Nansoni valemi \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) ja Cauchy pingeteoreemi kasutamisel saadakse seos Cauchy pingega

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Esimene PK-pinge ei ole üldjuhul sümmeetriline.

Teine Piola-Kirchhoffi pinge (teine PK-pinge) \(\boldsymbol{S}\) defineeritakse pingetensorina, mis saadakse hetkekonfiguratsiooni jõu \(d\boldsymbol{f}\) tagasitõmbamisel võrdluskonfiguratsiooni teisendusega \(\boldsymbol{F}^{-1}\) ja selle rakendamisel võrdluskonfiguratsiooni infinitesimaalsele pinnale:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Nii jõuvektor kui ka pind, millel see mõjub, on väljendatud võrdluskonfiguratsiooni suurustega, mistõttu tensor on jäiga keha pöörde suhtes invariantne ja sümmeetriline. Seos esimese PK-pingega ning teisendus Cauchy pingest on

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Teine PK-pinge tuletatakse hüperelastsest deformatsioonienergia funktsioonist \(W(\boldsymbol{C})\) kujul \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) ning Total Lagrange’i meetodis kasutatakse seda koos Green-Lagrange’i deformatsiooniga \(\boldsymbol{E}\) töökonjugeeritud paarina \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Võrdluskonfiguratsioonid ja sümmeetriaomadused on kokku võetud allpool. Väikeste deformatsioonide piiril (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) langevad kõik kolm pinget kokku.

Pingetensor	Võrdluspind	Jõuvektor	Sümmeetria	Rakendus
Cauchy pinge \(\boldsymbol{\sigma}\)	Hetkekonfiguratsioon \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Hetkekonfiguratsioon \(d\boldsymbol{f}\)	Sümmeetriline	Updated Lagrange’i meetod / väikeste deformatsioonide analüüs
Esimene PK-pinge \(\boldsymbol{P}\)	Võrdluskonfiguratsioon \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Hetkekonfiguratsioon \(d\boldsymbol{f}\)	Üldjuhul mittesümmeetriline	Võrdluskonfiguratsiooni tasakaaluvõrrandid
Teine PK-pinge \(\boldsymbol{S}\)	Võrdluskonfiguratsioon \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Võrdluskonfiguratsioon \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Sümmeetriline	Total Lagrange’i meetod / hüperelastsus

Massi ja impulsi jäävus ning tasakaaluvõrrandid¶

Olgu \(\rho\) massitihedus hetkekonfiguratsioonis ja \(\rho_0\) massitihedus võrdluskonfiguratsioonis. Massijäävuse seadus \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) koos ruumalaelemendi teisendusega \(dv = J\, dV\) taandub lokaalsele kujule

\[ \rho_0 = J \rho \]

See on massijäävuse lokaalne seos.

Olgu \(\boldsymbol{g}\) mahujõud massiühiku kohta ja \(\boldsymbol{a}\) kiirendus. Rakendades impulsi jäävusele (Euleri esimesele liikumisseadusele) Cauchy pingeteoreemi ja Gaussi divergentsiteoreemi, saadakse hetkekonfiguratsiooni lokaalne tasakaaluvõrrand (liikumisvõrrand):

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Kirjutades integraali Nansoni valemi ja seose \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) abil ümber võrdluskonfiguratsiooni, saadakse lokaalne kuju võrdluskonfiguratsioonis:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Need kaks kuju on pinge teisendusreegli ja seose \(\rho_0 = J\rho\) kaudu samaväärsed. Inertsi termini eiramisel saame

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

mis on staatiline tasakaaluvõrrand ja FrontISTR-i staatilise analüüsi (lineaarse ja mittelineaarse) lähtepunkt.

Impulsimomendi jäävus ja pinge sümmeetria¶

Impulsimomendi jäävuse (Euleri teise liikumisseaduse) kombineerimine impulsi jäävusest saadud tasakaaluvõrrandiga annab Cauchy pingetensori sümmeetria:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Seega on sellel kolmemõõtmelisel juhul kuus sõltumatut komponenti. Võttes teisenduse \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) mõlemast poolest transpoosi ja kasutades \(\boldsymbol{F}\) regulaarsust, selgub, et ka teine PK-pinge on sümmeetriline:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

ja sellel on samuti kuus sõltumatut komponenti. Seevastu esimene PK-pinge \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) ei ole üldjuhul sümmeetriline; kehtib ainult seos \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (s.t. \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) on sümmeetriline) ning sellel on üheksa sõltumatut komponenti.

Need sümmeetriad on aluseks pinge esitamisele kuuekomponendilise vektorina Voigti tähistuses. Voigti tähistuse reegleid ja materjalimaatriksite koostamist vt jaotistest Tensorite tähistus ja matemaatilised alused ja Lineaarne elastsus.