Liikumine, deformatsioon ja deformatsioonimõõt¶

Võrdlus- ja praegune konfiguratsioon¶

Konfiguratsioonide definitsioon¶

Et eristada, millist ajahetke kuju kasutatakse füüsikaliste suuruste kirjeldamise alusena, kasutatakse selles juhendis kahte konfiguratsiooni.

Võrdluskonfiguratsioon: analüüsi alguse (ajahetke \(0\)) deformeerumata kuju, mida nimetatakse ka algkonfiguratsiooniks. Võrdluskonfiguratsiooni punkti esitab materiaalne koordinaat \(\boldsymbol{X}\), ruumala on \(V\) ja pind \(S\).
Praegune konfiguratsioon: ajahetke \(t\) deformeerunud kuju. Praeguse konfiguratsiooni punkti esitab ruumiline koordinaat \(\boldsymbol{x}\), ruumala on \(v\) ja pind \(s\).

Liikumist esitatakse nende kahe konfiguratsiooni vahelise vastendusena \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) ning siire defineeritakse kujul \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Konfiguratsioonist sõltuv tähistus (suured/väikesed tähed)¶

Sümboli tähekuju eristab konfiguratsiooni, millele füüsikaline suurus kuulub.

Võrdluskonfiguratsiooni suurused kirjutatakse suurtähtedega (näiteks \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Praeguse konfiguratsiooni suurused kirjutatakse väiketähtedega (näiteks \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Mõlemat konfiguratsiooni ühendavad suurused, näiteks esimene Piola-Kirchhoffi pinge \(\boldsymbol{P}\), kasutavad tavapärast tähistust ning vajadusel tuvastatakse need tekstis selgelt.
Väikese deformatsiooni teoorias kaob kahe konfiguratsiooni eristus, seega kasutatakse ainult väiketähtedega sümboleid (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Võrdlus- ja praeguse konfiguratsiooni gradiendid¶

Tähistus ja tähendus erinevad sõltuvalt sellest, millise konfiguratsiooni suhtes ruumiline tuletis võetakse.

Võrdluskonfiguratsiooni gradient \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradient materiaalsete koordinaatide suhtes. Näide: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Praeguse konfiguratsiooni gradient \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradient ruumiliste koordinaatide suhtes. Näide: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Need on seotud seosega \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Ajatuletiste konventsiooni (materiaalne ajatuletis \(\dot{(\cdot)}\)) vt Tensoritähistus ja matemaatilised alused.

Liikumise kirjeldus¶

Liikumisvastendus ja materiaalne/ruumiline kirjeldus¶

Kui pidevkeha vaadelda materiaalsete punktide kogumina, mille sildiks on nende asukoht ajahetkel \(0\), \(\boldsymbol{X}\), siis seob liikumisvastendus materiaalse punktiga \(\boldsymbol{X}\) selle asukoha ajahetkel \(t\), \(\boldsymbol{x}\), vastenduse \(\phi\) abil:

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Kui võrdluskonfiguratsioon on algkonfiguratsioon, kehtib \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Sõltumatute muutujate valiku järgi eristatakse kahte kirjeldust.

Materiaalne kirjeldus (Lagrange'i kirjeldus): füüsikalisi suurusi esitatakse \((\boldsymbol{X}, t)\) funktsioonidena. Tahkemehaanikas on see loomulik valik, sest võrdluskonfiguratsioon on antud fikseeritud kujuna.
Ruumiline kirjeldus (Euleri kirjeldus): füüsikalisi suurusi esitatakse \((\boldsymbol{x}, t)\) funktsioonidena. See on standardne kirjeldus vedelikumehaanikas.

FrontISTR-i struktuurianalüüs põhineb põhimõtteliselt materiaalsel kirjeldusel, kuid uuendatud Lagrange'i meetodis kasutatakse ka ruumilise kirjelduse suurusi, sest praegust konfiguratsiooni kasutatakse uue võrdluskonfiguratsioonina.

Siire, kiirus ja kiirendus¶

Nagu eelmises jaotises öeldud, defineeritakse siire \(\boldsymbol{u}\) seosega \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Selle suurusele eeldust ei tehta, seega hõlmab see lõplikku deformatsiooni. Kiirus- ja kiirendusvektorid defineeritakse \(\boldsymbol{u}\) materiaalsete ajatuletistena fikseeritud materiaalse punkti korral:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Need võrrandid defineerivad kiiruse ja kiirenduse.

Deformatsioonigradient ja deformatsioonitensorid¶

Deformatsioonigradiendi tensor¶

Lõpliku deformatsiooni pidevkeha mehaanika põhisuurus on deformatsioonigradiendi tensor \(\boldsymbol{F}\). See on lineaarne vastendus, mis teisendab võrdluskonfiguratsiooni infinitesimaalse joonelemendi \(d\boldsymbol{X}\) praeguse konfiguratsiooni infinitesimaalseks joonelemendiks \(d\boldsymbol{x}\), ning defineeritakse liikumisvastenduse gradiendina materiaalsete koordinaatide suhtes:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Selliselt defineerituna (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)) on deformeerumata olekus \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) kasutatakse laialdaselt deformatsiooni ja pinge defineerimiseks ning füüsikaliste suuruste teisendamiseks konfiguratsioonide vahel.

Ruumalasuhe¶

Võrdluskonfiguratsiooni infinitesimaalse ruumala \(dV\) ja sellele vastava praeguse konfiguratsiooni infinitesimaalse ruumala \(dv\) suhet nimetatakse ruumal suhteks \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Pidevkeha pööratavus nõuab \(J > 0\). Massi jäävus väljendub seosena \(\rho_0 = J\rho\).

Parem- ja vasakpoolne Cauchy-Greeni deformatsioonitensor¶

Kuna deformatsioonigradient \(\boldsymbol{F}\) sisaldab jäiga keha pööret, kasutatakse deformatsiooni enda mõõtmiseks suurusi, millest jäiga keha pööre on eemaldatud. Parempoolne Cauchy-Greeni deformatsioonitensor \(\boldsymbol{C}\) (võrdluskonfiguratsioon) ja vasakpoolne Cauchy-Greeni deformatsioonitensor \(\boldsymbol{b}\) (praegune konfiguratsioon) defineeritakse kujul

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Mõlemad on sümmeetrilised tensorid ja neil on samad omaväärtused (peavenituste ruudud). Hüperelastsete deformatsioonienergia funktsioonide põhiinvariandid väljendatakse nende tensorite abil.

Deformatsioonitensorid¶

Green-Lagrange'i deformatsioonitensor¶

Võrdluskonfiguratsioonile viitava deformatsioonimõõduna defineeritakse Green-Lagrange'i deformatsioonitensor \(\boldsymbol{E}\) kujul

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

See on sümmeetriline tensor, mis väljendab võrdluskonfiguratsiooni infinitesimaalsete vektorite skalaarkorrutise muutust, on jäiga keha pöörde suhtes invariantne ja rahuldab deformeerumata olekus tingimust \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). Kasutades \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\), saame

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

See väljendab deformatsiooni siirdegradiendi esimese ja teise järgu liikmete summana; teist järku liige kirjeldab geomeetrilist mittelineaarsust. Täieliku Lagrange'i meetodis kasutatakse seda töökonjugeeritud paaris \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Almansi deformatsioonitensor¶

Praegusele konfiguratsioonile viitava deformatsioonimõõduna defineeritakse Almansi deformatsioonitensor \(\boldsymbol{e}\) kujul

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

See on Green-Lagrange'i deformatsiooniga seotud seosega \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Infinitesimaalne deformatsioonitensor¶

Kui siirdegradient on väike (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), võib Green-Lagrange'i deformatsiooni teist järku liikme tähelepanuta jätta. Kuna siis kaob kahe konfiguratsiooni eristus, taandub see infinitesimaalseks deformatsioonitensoriks \(\boldsymbol{\varepsilon}\), kus gradient kirjutatakse ruumilistes koordinaatides:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR kasutab seda deformatsioonimõõtu lineaarses staatilises analüüsis, modaalanalüüsis, sageduskarakteristiku analüüsis ja lineaarses dünaamilises analüüsis. Lõpliku deformatsiooni analüüs kasutab täieliku Lagrange'i meetodis \(\boldsymbol{E}\) ning uuendatud Lagrange'i meetodis praegusele konfiguratsioonile viitavat deformatsioonikiiruse tensorit \(\boldsymbol{D}\).