Täiustatud elemendiformulatsioonid¶

Jaotises 3D tahkiselementide formulatsioon esitatud standardne siirdepõhine formulatsioon võib peaaegu kokkusurumatute materjalide või paindedominantsete õhukeseseinaliste konstruktsioonide korral tekitada liigset kunstlikku jäikust ehk lukustumist (mahulukustumine või nihkelukustumine). Selle vältimiseks pakub FrontISTR B-bar- ja F-bar-meetodeid, mis asendavad ainult B-maatriksi või deformatsioonigradiendi mahulise osa; sisemiste vabadusastmetega mitteühilduvaid elemente; u-p segaelemente, kus rõhku käsitletakse sõltumatu tundmatu väljana; ning plaat- ja talakonstruktsioonidele mõeldud MITC koorik- ja talaelemente.

Selles peatükis võetakse nende täiustatud elementide ja konstruktsioonielementide formulatsioonid elemenditüüpide kaupa kokku.

B-bar-meetod¶

Kui 8-sõlmelist lineaarset heksaeedrit kasutatakse peaaegu kokkusurumatu materjali jaoks, võib ühe elemendi deformatsiooniväli minna vastuollu konstantse ruumala tingimusega ja tekitada liigset jäikust ehk mahulukustumist. B-bar-meetod vähendab seda ülepiirangut, asendades B-maatriksi mahulist paisumist mõjutavad komponendid elemendi keskpunktis hinnatud väärtustega [Hughes1980].

Olgu elemendi keskpunktis \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) kujufunktsioonide ruumilistest tuletistest arvutatud B-maatriks \(\bar{\boldsymbol{B}}\) ning integraalpunktis \(\boldsymbol{r}\) tavaline B-maatriks \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). Sõlme \(\alpha\) ja vabadusastme \(i\) siirde-deformatsiooni seoses muudetakse mahulise deformatsiooni komponente \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\), lisades

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Nihkekomponentide \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) jaoks kasutatakse tavalist \(\boldsymbol{B}\)-maatriksit. Elemendi jäikus ja sisejõuvektor koostatakse saadud B-bar-maatriksi abil.

FrontISTR pakub seda formulatsiooni spetsiaalselt 8-sõlmelise lineaarse heksaeedri jaoks (elemendi ID 361; vt Elemendinumbrite süsteem) ning seda saab kasutada väikeste deformatsioonide, Total Lagrange'i ja Updated Lagrange'i formulatsioonides.

F-bar-meetod¶

Lõpliku deformatsiooni korral siseneb mahumuutus mittelineaarselt deformatsioonigradiendi \(\boldsymbol{F}\) kaudu. F-bar-meetod [deSouzaNeto1996] rakendab deformatsioonigradiendi tasemel B-bar-meetodiga analoogset mahulukustumise vastast käsitlust.

Olgu elemendi keskpunktis \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) hinnatud deformatsioonigradiendi ruumalasuhe \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) ja integraalpunktis \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Integraalpunkti deformatsioonigradient asendatakse kujuga

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Nii kehtib \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) ja ruumalasuhe kogu elemendis ühtlustatakse elemendi keskpunkti väärtusega. Asendatud \(\bar{\boldsymbol{F}}\) kasutatakse pinge hindamisel ja deformatsiooni-siirde maatriksi moodustamisel ning elemendi puutujäikus sisaldab ka asendusega seotud lisaliikmeid.

FrontISTR rakendab F-bar-meetodit spetsiaalselt 8-sõlmelisele lineaarsele heksaeedrile ning seda saab kasutada nii väikeste deformatsioonide kui ka Total Lagrange'i / Updated Lagrange'i mittelineaarse geomeetria korral.

Mitteühilduvad elemendid¶

8-sõlmelisel lineaarsel heksaeedril puuduvad paindeks vajalikud deformatsioonirežiimid ning paindedominantsetes probleemides tekib paindelukustumine. Mitteühilduvad elemendid [Taylor1976] lisavad selle puuduse kompenseerimiseks elemendi sisse täiendavaid siirderežiime.

Lisaks elemendi sõlmesiiretele \(\boldsymbol{u}^e\) tuuakse sisse ainult elemendis eksisteerivad mitteühilduva režiimi vabadusastmed \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), s.o 3 suunda × 3 režiimi elemendi kohta, ning siirdevälja lähendatakse kujul

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Naturaalkoordinaatide \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) korral võetakse mitteühilduvad kujufunktsioonid \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) ja \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Need ei taga elementidevahelist pidevust, kuid lisavad sisemise ruumi, mis suudab esitada painderežiimidega seotud deformatsioone.

Elemendi jäikus koostatakse esmalt väliste ja sisemiste vabadusastmete plokkkujul

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Pärast sellisel kujul koostamist elimineerib staatiline kondenseerimine sisemised vabadusastmed seosega \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), mille tulemusel saadakse ainult väliseid vabadusastmeid sisaldav elemendi jäikus

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

ning see antakse edasi globaalseks koostamiseks.

FrontISTR rakendab mitteühilduvat elementi spetsiaalselt 8-sõlmelisele lineaarsele heksaeedrile (C3D8IC) ning seda saab kasutada väikeste deformatsioonide, Total Lagrange'i ja Updated Lagrange'i formulatsioonides.

U-P segaelemendid¶

Kui B-bar- ja F-bar-meetod korrigeerivad siirdepõhises raamistikus mahulist komponenti, siis u-p segaelement (U-P) kasutab segavormulatsiooni [Bathe1996], milles rõhk \(\lambda\) tuuakse sisse siirdest sõltumatu tundmatu väljana. Peaaegu kokkusurumatute materjalide korral — näiteks kummilaadsed materjalid Poissoni teguriga väga lähedal 0,5-le või plastse deformatsiooni järel olevad metallid — põhjustab konstantse ruumala tingimuse kehtestamine üksnes siirdevälja abil mahulukustumist; rõhu käsitlemine sõltumatu muutujana lõdvendab seda piirangut.

Pinge eraldatakse deviatoorseks ja rõhukomponendiks kujul

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Siin on \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) deviatoorne elastsusmaatriks, mis saadakse elastsusmaatriksist mahumooduliga \(K\) võrdelise mahulise osa eemaldamisel. Rõhk \(\lambda\) ja mahuline deformatsioon \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) on kokkusurutavuse \(\alpha^{-1} = 1/K\) kaudu seotud tingimusega

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Diskretiseerimine tundmatute siirde \(\boldsymbol{u}\) ja rõhuga \(\lambda\) annab elemendi seotud süsteemi

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

kus \(\mathbf{K}_{uu}\) sisaldab deviatoorset elastset panust ja lõpliku deformatsiooni korral geomeetrilist jäikust; \(\mathbf{K}_{up}\) seob mahulise deformatsiooni ja rõhu; ning \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) on rõhu stabiliseerimisliige (\(\boldsymbol{N}_p\) on rõhu kujufunktsioon). Kuna rõhu vabadusastmed on elemendisisesed,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

tehakse sel kujul staatiline kondenseerimine ja globaalseks koostamiseks antakse edasi ainult väliseid (siirde) vabadusastmeid sisaldav efektiivne jäikus.

FrontISTR rakendab U-P elementi spetsiaalselt 8-sõlmelisele lineaarsele heksaeedrile, ühe rõhu vabadusastmega elemendi kohta (elemendis konstantne). Seda saab kasutada väikeste deformatsioonide, Total Lagrange'i ja Updated Lagrange'i formulatsioonides. Updated Lagrange'i korral uuendatakse deviatoorset pinget objektiivse pingekiiruse (Jaumann/Hughes-Wingeti tüüpi) abil ning seejärel rakendatakse staatilisest kondenseerimisest saadud väärtusega rõhk \(\lambda\,\boldsymbol{I}\).

Koorikelemendid¶

Õhukeseseinaliste plaat- ja koorikkonstruktsioonide jaoks kasutatakse Reissner-Mindlini plaadi-/koorikuteoorial põhinevaid koorikelemente. Paksuse vähenedes hindavad madalat järku siirdepõhised plaadi-/koorikelemendid ristnihkedeformatsiooni üle mahulukustumisega analoogse mehhanismi tõttu (nihkelukustumine), mistõttu painderežiimide jäikus muutub liigselt suureks. MITC-meetod (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] väldib seda, proovistades ainult nihkedeformatsiooni komponente uuesti elemendi etteantud sidumispunktides (tying points) ning interpoleerides need väärtused üle elemendi tagasi.

MITC koorikelemendi sõlmed paiknevad keskpinnal ning igal sõlmel on kuus vabadusastet: kolm translatsioonikomponenti ja kolm pöördekomponenti keskpinna normaalkoordinaadistiku ümber. Elemendi jäikus hinnatakse kolmemõõtmelise Gaussi integreerimisega keskpinna naturaalkoordinaatide ja paksussuuna üle ning paksus \(h\) antakse materjaliseose hindamisel elemendi omadusena.

FrontISTR pakub ühe keskpinnakihiga MITC3 (elemendi ID 731), MITC4 (741) ja MITC9 (743) elemente, samuti kihilisi koorikelemente MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 sõlme, 3 DOF-i sõlme kohta) ja MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 sõlme, 3 DOF-i sõlme kohta), mille sõlmed paiknevad paksussuunas kahes kihis. Kihilistes koorikelementides koosnevad sõlme vabadusastmed ainult kolmest translatsioonikomponendist, pöördevabadusastmetele vastavaid painderežiime esitab kahekihiline paigutus.

Talaelemendid¶

Lineaarseid konstruktsioonielemente, nagu kandurid ja raamid, diskretiseeritakse talaelementidega. FrontISTR kasutab Timoshenko tala formulatsiooni, mis arvestab nihkedeformatsiooni ning väljendab nii painet kui nihet translatsiooni- ja pöördevabadusastmete kaudu.

Igal tala sõlmel on kuus vabadusastet: kolm translatsioonikomponenti ning kolm pöördekomponenti tala telje ja risttelgede ümber. Elemendi jäikus hinnatakse ühemõõtmelise numbrilise integreerimisega piki tala telge. Ristlõike pindala \(A\) ja painde- ning väändesuuna pindala inertsimomendid \(I\) antakse tala ristlõike omadustena ning koos materjali Youngi mooduli \(E\) ja nihkemooduliga \(G\) määravad need aksiaalse, painde-, väände- ja nihkejäikuse.

FrontISTR pakub 2-sõlmelist sirget talaelementi (elemendi ID 611) ja 4-sõlmelist tetraeedrilist tahkis-tala hübriidelementi, mida esitatakse 3 sõlmega (641, segatud vabadusastmete jaoks).

Seotud teemad¶

3D tahkiselementide formulatsioon — Võrdlus standardse formulatsiooniga
Elemendinumbrite süsteem ja kujufunktsioonide teek — Elemenditüüpide ID-d
Elemenditeek (funktsioonid) — Juhised elemenditüübi valimiseks