3D tahkiselementide kujufunktsioonid¶

Selles peatükis võetakse kokku jaotises Kujufunktsioonid ja lõplike elementide lähendus kasutusele võetud kujufunktsioonide \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) naturaalkoordinaadid ja konkreetsed kujud FrontISTR-i kolmemõõtmeliste tahkiselementide jaoks. Kuus elemenditüüpi on esimest ja teist järku tetraeedrid (341/342), esimest ja teist järku kolmnurkprismad (351/352) ning esimest ja teist järku heksaeedrid (361/362). HEC-MW võrgufaili sõlmejärjestust ja tahunumbristust vt funktsioonireferentsi Elemenditeegist.

Nende kujufunktsioonide ja Jacobi determinandi põhjal elemendi integraalide koostamine järgib jaotist Numbriline integreerimine. Elemendi 361 B-bar-, F-bar- ja mitteühilduvaid formulatsioone ning tala- ja koorikelementide kujufunktsioone käsitletakse jaotises Täiustatud elemendiformulatsioonid.

Naturaalkoordinaadid ja sisemine sõlmejärjestus¶

Kujufunktsioonid määratletakse iga elemendi naturaalkoordinaatidel \(\boldsymbol{r}\). Kolmemõõtmelistes tahkiselementides kasutatakse elemendi kuju järgi järgmisi kolme naturaalkoordinaatide süsteemi.

Heksaeedrid (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
Tetraeedrid (341/342): ruumkoordinaadid \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), kus \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) ja \(L_i \ge 0\). Võttes sõltumatuteks muutujateks \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\), on \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
Kolmnurkprismad (351/352): aluse kolmnurga ruumkoordinaadid \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) kombineeritakse telgkoordinaadiga \(\zeta \in [-1, 1]\), moodustades \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Abisuurust \(a = 1 - \xi - \eta\) kasutatakse aluse kolmanda ruumkoordinaadina.

Esimest järku elementide korral on elemendi sõlmenumbristus HEC-MW sisendvormingus ja FrontISTR-i sisemises vormingus sama. Teist järku elementides erineb servade kesksõlmede järjestamise konventsioon. FrontISTR võtab sisendina vastu HEC-MW vormingu (esmalt elemendi ümber paiknevad nurgasõlmed, seejärel servade kesksõlmed servade järjekorras 1-2, 2-3, …), samas kui elemenditeegi kujufunktsioonid eeldavad teistsugust sõlmejärjestust.

Kahe vormingu erinevuse lahendab kohe pärast võrgu sisestamist kutsutav hecmw2fstr_mesh_conv, mis järjestab iga elemendi sõlmed ümber. Kolmemõõtmelistest tahkiselementidest teisendatakse järgmised kaks tüüpi.

Elemenditüüp	Teisendustabel	Kirjeldus
342 (teist järku tetraeeder)	`Table342`	Järjestab 10 sõlme ümber kujule \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (teist järku kolmnurkprisma)	`Table352`	Järjestab 15 sõlme ümber kujule \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Kuna ümberjärjestamine tehakse otse elemendi ühenduvust hoidvas massiivis, kasutavad kõik järgnevad elemenditeegi väljakutsed FrontISTR-i sisemist sõlmejärjestust. Teist järku heksaeedril 362 teisendustabel puudub, sest HEC-MW sisendi ja FrontISTR-i sisemise vormingu servade kesksõlmede järjekord on sama. Tulemuste väljundil taastab pöördteisendus fstr2hecmw_mesh_conv enne kirjutamist HEC-MW sõlmejärjestuse, seega peab kasutaja nii sisendi kui väljundi puhul arvestama ainult HEC-MW vorminguga. Allpool toodud kujufunktsioonide sõlmenumbrid kasutavad teisendatud FrontISTR-i sisemist vormingut.

Esimest järku elementide kujufunktsioonid¶

Esimest järku tetraeedri (341) kujufunktsioonid on ruumkoordinaadid ise:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Esimest järku kolmnurkprisma (351) kujufunktsioonid on aluse kolmnurga lineaarsete kujufunktsioonide (\(a, \xi, \eta\)) ja telgsuunaliste lineaarsete kujufunktsioonide (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) korrutised:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Esimest järku heksaeedri (361) kujufunktsioonid on kolme koordinaadisuuna lineaarsete kujufunktsioonide tensorkorrutised:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Siin on \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) sõlme \(\alpha\) naturaalkoordinaatide väärtused (iga komponent on \(\pm 1\)).

Teist järku elementide kujufunktsioonid¶

Teist järku tetraeedri (342) kujufunktsioonid jagunevad nelja nurgasõlme ja kuue serva kesksõlme vahel:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Kesksõlmed 5–10 vastavad vastavalt servade 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 ja 3-4 keskpunktidele.

Teist järku kolmnurkprisma (352) koosneb kuuest nurgasõlmest, kuuest kolmnurktahkude servade kesksõlmest ja kolmest telgservade kesksõlmest:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Kesksõlmed 7–9 vastavad alumise kolmnurga (\(\zeta = -1\)) servade keskpunktidele, sõlmed 10–12 ülemise kolmnurga (\(\zeta = +1\)) servade keskpunktidele ning sõlmed 13–15 telgservade keskpunktidele.

Teist järku heksaeeder (362) on Serendipity-perekonna 20-sõlmeline element. Olgu sõlme \(\alpha\) naturaalkoordinaadid \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Nurgasõlmede (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), iga komponent \(\pm 1\)) korral

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Servade kesksõlmede (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), üks kolmest naturaalkoordinaadist on \(0\) ja teised kaks \(\pm 1\)) korral on sõlmedel, mille \(\xi_\alpha = 0\) (servad \(\xi\) suunas),

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Servade kesksõlmed, mille serva suund on \(\eta\)- või \(\zeta\)-telg, saadakse analoogselt, kus vastav naturaalkoordinaat kõrvaldatakse ruutliikmega.

Seotud teemad¶

Kujufunktsioonid ja lõplike elementide lähendus — Kujufunktsioonide \(N_\alpha^e\) matemaatiline määratlus
Kujufunktsioonide ruumilised tuletised — Kujufunktsioonide globaalsete koordinaatide tuletised ja Jacobi maatriks
Numbriline integreerimine — Integraalpunktid, kaalud ja elemendiintegraalide lähendamine
Täiustatud elemendiformulatsioonid — B-bar, F-bar, mitteühilduvad elemendid, koorikud ja talad
Elemenditeek (funktsioonid) — Sõlmejärjestus ja tahunumbrid HEC-MW vormingus
Füüsikaliste suuruste sümbolite loend