Numbriline integreerimine¶

Peatükkides Sisevirtuaaltöö diskretiseerimine ja Välisvirtuaaltöö ning globaalvõrrandi koostamine saadud elemendi sisejõuvektorid \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) ja elemendi jäikusmaatriks \(\boldsymbol{K}^e\) on integraalid üle elemendi piirkonna \(\Omega^e\) või \(\Omega^e_0\). FrontISTR hindab neid numbriliselt Gaussi kvadratuuriga.

Gaussi kvadratuur ja muutujavahetus¶

Gaussi kvadratuur lähendab integraali referentspiirkonnas \(\Xi\) integraalialuse väärtuste lineaarkombinatsioonina integratsioonipunktides \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) kaaludega \(w_i\). Selle rakendamisel elemendi piirkonnale \(\Omega^e\) tehakse muutujavahetus kujutuse \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) kaudu:

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

kus \(n_q\) on integratsioonipunktide arv ja \(J_{\xi_i}\) teisendusjakobiaani determinant. Referentspiirkond \(\Xi\) määratakse iga elemenditüübi jaoks (heksaeedril \([-1,1]^3\); kolmnurkadel, tetraeedritel ja kiiludel vastavad referentskujud) ning integratsioonipunktid \(\boldsymbol{\xi}_i\) ja kaalud \(w_i\) antakse arvuliste tabelitena. Pindintegraale käsitletakse samal kujul, kujutades elemendi tahu kahemõõtmelisest referentspiirkonnast.

Allpool on FrontISTR-is kasutatavate tüüpiliste integratsioonipunktide arvud (vastavust elemenditüüpidele vt Elementide nummerdamisskeem ja kujufunktsioonide teek).

Elemendi tüüp	Kvadratuurireegel	Integratsioonipunktide arv
4-sõlmeline tetraeeder (`tet4n`)	1-punkti reegel	1
10-sõlmeline tetraeeder (`tet10n`)	4-punkti reegel	4
6-sõlmeline kolmnurkprisma (`prism6n`)	2-punkti reegel	2
15-sõlmeline kolmnurkprisma (`prism15n`)	9-punkti reegel	9
8-sõlmeline heksaeeder (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-sõlmeline heksaeeder (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-sõlmeline nelinurk (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-sõlmeline nelinurk (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-sõlmeline kolmnurk (`tri3n`)	1-punkti reegel	1
6-sõlmeline kolmnurk (`tri6n`)	3-punkti reegel	3

Heksaeedriliste, nelinurksete ja joonelementide puhul kasutatakse Gauss-Legendre'i reegli tensorkorrutisi igas koordinaatsuunas. Kolmnurgad, tetraeedrid ja kolmnurkprismad kasutavad simpleksitüüpi geomeetriale kohandatud erireegleid (punktipaigutused, mis integreerivad polünoome täpselt kolmnurga enda üle).

Rakendamine elemendi integreerimisele¶

Elemendi integreerimisel kasutatakse referentspiirkonna koordinaatidena naturaalkoordinaate \(\boldsymbol{r}\) (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)) ning kujutus füüsilistesse koordinaatidesse saadakse sõlmekoordinaatide interpoleerimisel kujufunktsioonidega. Sõltuvalt referentskonfiguratsiooni valikust (Inkrementaalanalüüsi raamistik) kasutatakse järgmisi formulatsioone.

Total Lagrange'i meetod (integreerimine üle referentskonfiguratsiooni \(\Omega^e_0\)): kujutus ja jakobiaan on

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

ning elemendi sisejõudu ja jäikusmaatriksit lähendatakse kujul

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Kõiki suurusi \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) hinnatakse integratsioonipunktis \(\boldsymbol{r}_i\).

Updated Lagrange'i meetod (integreerimine üle hetkekonfiguratsiooni \(\Omega^e\)): kujutus ja jakobiaan on

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

ning lähendustena kasutatakse

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Kahe formulatsiooni ainus erinevus on see, kas kujutusele antakse sõlmekoordinaatidena \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) või \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); integratsioonipunktid, kaalud ja integratsioonipunkti tsükli struktuur on ühised.

Täielik ja vähendatud integreerimine¶

Integreerimist, kus kasutatakse piisavalt integratsioonipunkte integraalialuse polünoomijärgu täpseks integreerimiseks, nimetatakse täielikuks integreerimiseks; ühe astme võrra vähema integratsioonipunktide arvuga integreerimist nimetatakse vähendatud integreerimiseks. Vähendatud integreerimist kasutatakse nihke- ja mahuluku leevendamiseks, kuid see nõuab parasiitsete deformatsioonimoodide, näiteks hourglass-moodide käsitlust. Iga elemenditüübi integratsioonipunktide arvu ning täieliku ja vähendatud integreerimise valikut käsitletakse peatükis Elementide nummerdamisskeem ja kujufunktsioonide teek ja järgnevates jaotistes ning peatükis Täiustatud elemendiformulatsioonid.

Seotud teemad¶

Kujufunktsioonide ruumituletised — Jakobiaani arvutamine
Sisevirtuaaltöö diskretiseerimine — Numbrilise integreerimisega hinnatavad suurused
Täiustatud elemendiformulatsioonid — Vähendatud integreerimise kasutamine