Välisjõudude virtuaaltöö ja globaalvõrrandite koostamine¶

Sisejõudude virtuaaltöö diskretiseerimises koondati nõrga vormi vasak pool elemendi sisejõuvektoriks \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-meetod) või \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-meetod). Selles peatükis tuletatakse välisjõudude virtuaaltööst elemendi sõlmede välisjõuvektor \(\boldsymbol{F}^e\), seejärel rakendatakse koostamise operatsiooni, mis järjestab elemendi sõlmesuurused ümber globaalsete sõlmenumbrite järgi ja summeerib need. Nii jõutakse FrontISTR-i mittelineaarses struktuurianalüüsis lahendatava sõlmesiirete mittelineaarse võrrandisüsteemini.

Välisjõudude virtuaaltöö jaotamine elementideks¶

Virtuaaltöö printsiibi parema poole saab jaotada elementide kaupa välisjõudude virtuaaltööks, mis koosneb ruumjõududest ja mehaanilisel piiril etteantud pinnajõududest. Kujufunktsioonides ja lõplike elementide lähenduses kasutusele võetud siirdeinterpolatsiooni maatrikskujul esitamiseks olgu \(\alpha\) \(N_\alpha^e\) plokk, mille diagonaalil paikneb sõlme \(d \times d\) kujufunktsioon \(\boldsymbol{N}_\alpha\), ning \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). Siis on \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Selle asendamisel lähtekonfiguratsioonis kirjutatud välisjõudude virtuaaltöösse saadakse

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

Siin on elemendi sõlmede välisjõuvektor järjestatud kujul \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Nii taandub välisjõudude virtuaaltöö sisejõu poolega samasse kujusse „elemendi sõlmevektor × testfunktsioon” (hetkekonfiguratsioonis saadakse sama kuju asendustega \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) ja \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Elemendi sõlmesuuruste koostamine¶

Iga elemendi jaoks saadud sõlmesuurused \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) summeeritakse globaalsetesse vektoritesse globaalsete sõlmenumbrite järgi. Tähistame elemendi \(\Omega^e\) kohaliku sõlmenumbri \(\alpha\) vastava globaalse sõlmenumbri kujul

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Siis langeb elemendi sõlmesuurus kokku globaalse sõlmesuuruse vastava komponendiga (näiteks \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Kuna sõlme \(i_g\) jagavad tavaliselt mitu elementi, defineerime kõigi nende paaride \(i_g\) hulga, mille globaalne sõlmenumber on \((e, \alpha)\):

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Kirjutades summa ümber kujul \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), saadakse kõigi \(n_g\) sõlme sõlme sisejõud ja globaalne sisejõuvektor:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

\(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) on sõlmes \(i_g\) mõjuvate elemendi sõlmede sisejõudude resultant ning on \(\boldsymbol{0}\), kui välisjõudu ei mõju ja tasakaal on täidetud. UL-meetodis saadakse sama protseduuriga \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); kuna arvuliselt kehtib \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), kasutatakse edaspidi tähist \(\boldsymbol{Q}\), välja arvatud seal, kus eristamine on vajalik. Globaalne välisjõuvektor \(\boldsymbol{F}\) saadakse sama summeerimisega.

Rakenduses ei moodustata hulka \(\mathcal{E}(i_g)\) eksplitsiitselt; panused lisatakse elemenditsükli sees otse vastavatesse komponentidesse.

Initsialiseeri globaalne sisejõuvektor Q nulliga: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (elementide arv)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Globaalne välisjõuvektor \(\boldsymbol{F}\) koostatakse sama protseduuriga. Elemendi sõlmesuuruste liitmist ja salvestamist globaalsete sõlmenumbritega nummerdatud vektoritesse ning maatriksitesse nimetatakse koostamiseks (assemble). Kahe sõlmenumbriga seotud teist järku tensorite (näiteks jäikusmaatriksite) korral saadakse samalaadne koostamisoperatsioon hulga \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) abil (konkreetset moodustamist vt Puutujäikusmaatriks).

Lahendatav mittelineaarne võrrand¶

Asendades koostatud sise- ja välisjõud virtuaaltöö printsiipi ning kasutades asjaolu, et see kehtib iga geomeetrilisi piirtingimusi rahuldava testfunktsiooni \(\delta\boldsymbol{u}^n\) jaoks, saame

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

Inkrementaalanalüüsi (Inkrementaalanalüüsi raamistik) kontekstis taastatakse ajaindeks \(_{n+1}\) ning jäetakse ära globaalse sõlmevektori ülaindeks \(^n\). Lahendatav võrrand on siis

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Seega taandub diskretiseeritud ääreväärtusülesanne sõlmesiirde \(t_{n+1}\) leidmiseks ajal \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) selle siirde mittelineaarse võrrandi lahendamisele koos geomeetriliste piirtingimustega. Võrrandi lineariseerimist ja puutujäikusmaatriksi moodustamist kirjeldab Puutujäikusmaatriks, iteratiivset lahendusmeetodit aga Newton-Raphsoni meetod.

Seotud teemad¶

Virtuaaltöö printsiip — Nõrga vormi lähtepunkt
Inkrementaalanalüüsi raamistik — Ajaindeksid ja lähtekonfiguratsiooni valik
Kujufunktsioonid ja lõplike elementide lähendus — Siirde ja testfunktsioonide interpolatsioon ning elemendi sõlmevektorid
Sisejõudude virtuaaltöö diskretiseerimine — Elemendi sisejõuvektorite \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) tuletamine
Puutujäikusmaatriks — Jäikusmaatriksi koostamine (sama protseduur)
Newton-Raphsoni meetod — Mittelineaarsete võrrandite iteratiivne lahendamine
Füüsikaliste suuruste sümbolite loend