Sisejõudude virtuaaltöö diskretiseerimine¶

Inkrementaalanalüüsi raamistikus esitatud virtuaaltöö võrrand ajal \(t + \Delta t\) omandab lähtekonfiguratsiooni valikust sõltuvalt kaks kuju: Updated Lagrange'i ja Total Lagrange'i formulatsiooni. Selles peatükis kasutatakse jaotistes Kujufunktsioonid ja lõplike elementide lähendus ning Kujufunktsioonide ruumilised tuletised kirjeldatud lõplike elementide lähendust, et mõlema formulatsiooni sisejõudude virtuaaltöö ruumiliselt diskretiseerida ja saada elemendi sisejõuvektorid \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) ning \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Elemendi \(e\) korral olgu selle sõlmed \(\alpha = 1, \ldots, n_e\), siirded \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) ning elemendi sõlmesiirete vektor järjestatud kujul \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Virtuaalsiire \(\delta \boldsymbol{u}^e\) määratletakse samas järjestuses. Elemendisisene siire interpoleeritakse kujufunktsioonidega kujul \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Sisejõudude virtuaaltöö Updated Lagrange'i formulatsioonis¶

Updated Lagrange'i formulatsioonis kasutatakse ajal \(t\) lähtekonfiguratsioonina hetkekonfiguratsiooni \({}^{t}\Omega\) ning sisejõudude virtuaaltöö kirjutatakse Cauchy pinge \(\boldsymbol{\sigma}\) ja Almansi deformatsiooni lineaarse osa \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) kaudu kujul

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Iga \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) komponenti saab hetkekonfiguratsiooni koordinaatide \(\boldsymbol{x}\) abil esitada kujufunktsioonide tuletiste \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ja sõlmede virtuaalsiirete \(\delta u^e_{i\alpha}\) lineaarse kombinatsioonina. Voigti tähistuses saab selle koondada kujule

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Sõlmeplokk \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) moodustatakse, paigutades \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) Voigti kokkuleppe järgi \(6 \times 3\) maatriksisse; \(\boldsymbol{B}_L\) on UL-formulatsiooni deformatsiooni-siirde maatriks. Asendades selle sisejõudude virtuaaltöösse ja tuues \(\delta \boldsymbol{u}^e\) tegurina välja, saadakse

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Vektori \(\boldsymbol{q}^e\) sõlmeplokk \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) on elemendi \(\Omega^e\) sisejõud, mis mõjub selle sõlmele \(\alpha\).

Sisejõudude virtuaaltöö Total Lagrange'i formulatsioonis¶

Total Lagrange'i formulatsioonis kasutatakse lähtekonfiguratsioonina algkonfiguratsiooni \(\Omega_0\) ning sisejõudude virtuaaltöö kirjutatakse teise Piola-Kirchhoffi pinge \(\boldsymbol{S}\) ja Green-Lagrange'i deformatsiooni \(\boldsymbol{E}\) kaudu kujul

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Variatsioon \(\delta \boldsymbol{E}\) jagatakse virtuaalsiirde suhtes lineaarseks liikmeks ja mittelineaarseks liikmeks, mis sisaldab korrutisi praeguse siirde gradiendiga \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Lineaarse liikme saab kirjutada, rakendades \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-le sama paigutusreeglit nagu UL-formulatsioonis ja moodustades sõlmeploki \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Erineva lähtekonfiguratsiooni tõttu muutuvad ainult koostisosadeks olevad tuletised \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) kujule \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); sümbolit kasutatakse UL-formulatsiooniga ühiselt. Mittelineaarne liige kasutab praeguse siirde gradiendi \(\partial u_k/\partial X_j\) ja \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) korrutisi, mis paigutatakse Voigti kokkuleppe järgi sõlmeplokiks \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Seega \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) ning \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) on TL-formulatsiooni deformatsiooni-siirde maatriks. Selle asendamisel sisejõudude virtuaaltöösse saadakse

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Sõlmeplokk \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) on elemendi \(\Omega^e_0\) sisejõud, mis mõjub selle sõlmele \(\alpha\).

UL/TL vastavus ja arvutusvoog¶

Updated Lagrange'i ja Total Lagrange'i formulatsiooni elemendi sisejõuvektorid vastavad teineteisele järgmiselt.

Üksus	Updated Lagrange'i formulatsioon	Total Lagrange'i formulatsioon
Lähtekonfiguratsioon	Hetkekonfiguratsioon \({}^{t}\Omega^e\)	Algkonfiguratsioon \(\Omega^e_0\)
Pingetensor	Cauchy pinge \(\boldsymbol{\sigma}\)	Teine PK-pinge \(\boldsymbol{S}\)
Deformatsiooni variatsioon	\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)	\(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B-maatriks	\(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\))	\(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Elemendi sisejõud	\(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\)	\(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Mõlemat töödeldakse sama protseduuriga: kujufunktsioonide ruumilistest tuletistest moodustatakse \(\boldsymbol{B}_L\); TL-formulatsioonis moodustatakse praegusest siirdegradiendist lisaks \(\boldsymbol{B}_{NL}\); pinget (\(\boldsymbol{\sigma}\) või \(\boldsymbol{S}\)) uuendatakse vastavalt materjaliseosele; ning \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) või \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) integreeritakse numbriliselt üle elemendi integraalpunktides (Numbriline integreerimine). Peale lähtekonfiguratsiooni vahetamise (sõlmekoordinaadid ja \(\boldsymbol{B}\)-maatriksi moodustamine) ning pingetensori asendamise on protsess ühine, mistõttu FrontISTR rakendab mõlema formulatsiooni sisejõuarvutused ühiste alamprogrammidega. Elemendi sisejõuvektorite \(\boldsymbol{q}^e\) ja \(\boldsymbol{Q}^e\) koostamist globaalseks sisejõuvektoriks käsitletakse jaotises Välisjõudude virtuaaltöö ja globaalvõrrandite koostamine.

Seotud teemad¶

Virtuaaltöö printsiip — Lähtevõrrand
Inkrementaalanalüüsi raamistik — TL/UL harude määratlus
Kujufunktsioonide ruumilised tuletised — B-maatriksi komponendid
Välisjõudude virtuaaltöö ja globaalvõrrandite koostamine — Globaalse sisejõuvektori moodustamine
Puutujäikusmaatriks — Lineariseerimine sisejõu ajatuletise kaudu
Füüsikaliste suuruste sümbolite loend