Kujufunktsioonid ja lõplike elementide lähendus¶

Virtuaaltöö printsiibi nõrga vormi arvutuslikuks käsitlemiseks jaotatakse keha piirkond lõplikuks arvuks elementideks ning iga elemendi sees interpoleeritakse materiaalse punkti koordinaadid, nihe ja testfunktsioon sõlmeväärtuste ning kujufunktsioonide abil. Kujufunktsioonide ruumilisi tuletisi käsitletakse jaotises Kujufunktsioonide ruumilised tuletised, nõrga vormi diskretiseerimist jaotises Sisemise virtuaaltöö diskretiseerimine ning eri elemenditüüpide kujufunktsioonide konkreetseid kujusid jaotises Elementide nummerdamissüsteem ja kujufunktsioonide teek ja sellele järgnevates jaotistes.

Piirkonna jaotamine ja integraalide elementhaaval summad¶

Võrdluskonfiguratsiooni piirkond \(\Omega_0\) ja hetkekonfiguratsiooni piirkond \(\Omega\) lähendatakse vastavalt elementide \(\Omega^e_0\) ja \(\Omega^e\) ühenditena:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) on elemendi number ja naaberelemendid jagavad omavahel elementide piire.) Sellega saab virtuaaltöö printsiibis esinevad ruumala- ja pinnaintegraalid lahutada üksikute elementide integraalide summadeks:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Sama kehtib hetkekonfiguratsiooni kohta, kui asendada \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) ja \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Edaspidi taandub nõrga vormi hindamine integraalide koostamisele elementhaaval.

Interpoleerimine sõlmeväärtuste ja kujufunktsioonidega (isoparameetrilised elemendid)¶

Igale elemendile \(\Omega^e_0\) määratakse \(n_e\) sõlme. Olgu elemendi sõlme \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) võrdluskonfiguratsiooni koordinaadid ja sõlmenihe vastavalt \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Nende väärtuste järjestamisel saadakse elemendi sõlmevektorid \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) ja \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\); need sisaldavad elemendi \(e\) jaoks ainult seda elementi moodustavate sõlmede komponente, mis on eraldatud globaalsetest sõlmevektoritest \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) on sõlmede koguarv).

Kasutades parameetritena elemendisiseseid lokaalseid koordinaate ehk loomulikke koordinaate \(\boldsymbol{r}\), interpoleerivad kujufunktsioonid \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) materiaalsed koordinaadid, nihke ja testfunktsiooni samade kujufunktsioonide abil (isoparameetriline element ja Galerkini meetod):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Kujufunktsioonid koostatakse nii, et need rahuldavad järgmisi kahte omadust, ning elemendi geomeetria valitakse nii, et teisendus \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) loomulikest koordinaatidest materiaalseteks koordinaatideks oleks elemendi sees üksühene:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) on sõlmele \(\alpha\) vastav punkt loomulikes koordinaatides ja \(\delta_{\alpha\beta}\) on Kroneckeri delta.) Esimene võrrand tagab jäiga keha translatsiooni taasesitamise ning teine selle, et interpoleeritud väärtus langeb igas sõlmes kokku sõlmeväärtusega. Eri elemenditüüpide \(n_e\) ja \(N_\alpha^e\) konkreetsed kujud on toodud jaotises Elementide nummerdamissüsteem ja kujufunktsioonide teek ja sellele järgnevates jaotistes. Liigse tähistuskoormuse vältimiseks esitatakse elemenditüübi sõltuvus elemendipõhise ülaindeksiga \(e\).

Ülaltoodud interpolatsioonireeglite abil saab nõrga vormi integraalialuse avaldada üksnes elemendi sõlmeväärtuste \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) ja \(N_\alpha^e\) kaudu. Deformatsioon tuletatakse seevastu interpoleeritud nihkest ja deformatsiooni-nihke seosest, pinge aga sellest deformatsioonist ja materjali konstitutiivsest seadusest; neid suurusi ei interpoleerita otse sõlmeväärtustest. Neid hinnatakse elemendi integreerimispunktides (Numbriline integreerimine).

Globaalsete sõlmevektorite järjestusreegel¶

Sõlmedele määratud füüsikalised suurused järjestatakse globaalses sõlmevektoris sõlme number → vabadusaste kasvavas järjekorras. Kui sõlmes \(\alpha\) tähistatakse vabadusastme komponenti \(i\) sümboliga \(u_{i\alpha}\), siis vastavalt kolmemõõtmelisel juhul (\(i=1,2,3\)) ja kahemõõtmelisel juhul (\(i=1,2\)):

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Koordinaadid \(\boldsymbol{X}^n\) ja testfunktsioon \(\delta\boldsymbol{u}^n\) järgivad sama järjestust. Edaspidi esitatakse maatriks- ja vektorkujulised tuletused tüüpilise näitena kolmemõõtmelise juhu põhjal.

Seotud teemad¶

Virtuaaltöö printsiip — diskretiseeritav nõrk vorm
Kujufunktsioonide ruumilised tuletised — Jacobi maatriksi ja B-maatriksi ettevalmistamine
Elementide nummerdamissüsteem ja kujufunktsioonide teek — eri elemenditüüpide kujufunktsioonid