Roome¶

Selles peatükis kirjeldatakse FrontISTR-is kasutatavat roomedeformatsiooni konstitutiivset seadust. Valiku ja sisendvormingute üksikasju vt funktsioonide jaotisest 03_material.

Roomanähtus ja deformatsioonide aditiivne lahutus¶

Ajast sõltuvat nihet konstantse pinge korral nimetatakse „roomamiseks”.

Eespool kirjeldatud viskoelastset käitumist võib samuti käsitada lineaarse roomamise liigina. Siin kirjeldatakse mitut mittelineaarset roomamiskäitumist. Tavaliselt formuleeritakse konstitutiivne seos, liites selle käitumise hetkeliselt tekkivale deformatsioonile, ning määratletakse antud konstantse koormuse kestel kogunev deformatsioon roomedeformatsioonina \(\varepsilon^c\). Roomamist sisaldav konstitutiivne seos väljendatakse tavaliselt roomedeformatsiooni kiiruse \(\dot{\varepsilon}^c\) kaudu, mis defineeritakse pinge ja kogu roomedeformatsiooni funktsioonina.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Kui hetkeliselt tekkiv deformatsioon on elastne deformatsioon \(\varepsilon^e\), väljendatakse kogudeformatsioon järgmise summana, mis sisaldab roomedeformatsiooni.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

kus

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) on elastsustensor).

Nortoni seadus¶

FrontISTR kasutab konkreetse roomeseadusena järgmist Nortoni mudelit. Selles konstitutiivses seaduses väljendatakse ekvivalentne roomedeformatsiooni kiirus \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) von Misesi pinge \(q\) ja aja \(t\) funktsioonina järgmiselt.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Siin on \(A\), \(m\) ja \(n\) materjalikonstandid.

Ajaline integreerimine ja pinge uuendamine¶

Nagu plastsete materjalide korral, tuleb roomamist kirjeldava konstitutiivse seaduse jaoks määrata numbriline ajaintegreerimise meetod. Roomamist arvestav konstitutiivne seos on

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]

\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

kus \(\beta_{n+\theta}\) is

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Roomedeformatsiooni juurdekasv \(\Delta \varepsilon^c\) määratakse seejärel järgmise lihtsustatud mittelineaarse võrrandiga:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

mis võrdsustatakse nulliga.

Newton-Raphsoni iteratsioonis, võttes algpingeks \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) ja kasutades lõplike elementide meetodist saadud deformatsiooniinkrementi, on iteratiivne lahend ja inkrement järgmised

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

kus

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

kus Kui iteratsiooni jätkatakse kuni jääk \(R\) muutub väärtuseks \(\mathbf{0}\), saadakse pinge \(\sigma_{n+1}\) ja puutemoodul

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

Seotud teemad¶

Viskoelastsus — lineaarsele roomamisele vastav viskoelastne käitumine
Puutujäikuse maatriks — roomamist sisaldava inkrementaalanalüüsi puutujäikus
Materjaliandmed (funktsioonid) — Nortoni mudeli parameetrite määramine