Elastoplastsus¶

Selles peatükis kirjeldatakse FrontISTR-is kasutatava elastoplastse konstitutiivseose raamistikku. Valiku ja sisendspetsifikatsioonide üksikasju vaadake funktsioonide jaotise 03_material lehelt.

Nähtus (plastne deformatsioon)¶

TBD (kirjutatakse järgmises etapis).

Konstitutiivseose raamistik¶

FrontISTR kasutab assotsieeritud voolureeglil põhinevat elastoplastset konstitutiivvõrrandit. Konstitutiivvõrrand väljendab seost Kirchhoffi pinge Jaumanni tuletise ja deformatsioonikiiruse tensori vahel ning deformatsioonianalüüsis kasutatakse uuendatud Lagrange'i formulatsiooni.

Oletame, et elastoplastse materjali voolavustingimus on antud järgmiselt.

Algne voolavustingimus:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Järgnev voolavustingimus:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

kus

\(F\): voolavusfunktsioon
\(\sigma_{y_0}\): algne voolavuspinge
\(\sigma_y\): järgnev voolavuspinge
\(\sigma\): pingetensor
\(e\): infinitesimaalne deformatsioonitensor
\(e^p\): plastse deformatsiooni tensor
\(\overline{e}^p\): ekvivalentne plastne deformatsioon

Eeldatakse, et voolavuspinge ja ekvivalentse plastse deformatsiooni vaheline seos langeb kokku üheteljelise oleku pinge ja plastse deformatsiooni seosega.

Pinge ja plastse deformatsiooni seos üheteljelises olekus

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

kus \(H'\) on deformatsioonikõvenemise moodul.

Ekvivalentpinge ja ekvivalentse plastse deformatsiooni seos

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Üldjuhul on järgnev voolavusfunktsioon temperatuuri ja plastse deformatsiooni töö funktsioon, kuid lihtsuse huvides eeldatakse siin, et see sõltub ainult ekvivalentsest plastsest deformatsioonist \(\overline{e}^p\). Plastse deformatsiooni arenemisel peab \(F = 0\) jääma kehtima ning seetõttu peab olema rahuldatud järgmine võrrand.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Siin tähistab \(\dot{F}\) funktsiooni \(F\) ajalist tuletist. Edaspidi tähistatakse suuruse \(A\) ajalist tuletist sümboliga \(\dot{A}\).

Oletame plastse potentsiaali \(\Theta\) olemasolu ja väljendame plastse deformatsiooni kiiruse järgmise võrrandiga.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Siin on \(\dot{\lambda}\) kordaja.

Lisaks, eeldades, et plastne potentsiaal \(\Theta\) võrdub voolavusfunktsiooniga \(F\), kasutatakse järgmist assotsieeritud voolureeglit.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Selle võrrandi asendamisel konsistentsitingimusse saadakse järgmine võrrand.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Siin on \(D\) elastsusmaatriks ning

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Elastoplastse pinge-deformatsiooni seose saab kirjutada järgmiselt.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Kui elastoplastse materjali voolavusfunktsioon \(F\) on teada, saadakse sellest avaldisest selle konstitutiivvõrrand.

Voolavusfunktsioonid¶

Allpool on loetletud FrontISTR-is kasutatavad elastoplastsed voolavusfunktsioonid.

von Misesi voolavusfunktsioon¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Siin on \(J_2\) deviatoorse pingetensori teine invariant.

Mohr-Coulombi voolavusfunktsioon¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Siin on \(\sigma_1, \sigma_3\) vastavalt maksimaalne ja minimaalne peapinge, \(c\) on kohesioon ning \(\phi\) on sisehõõrdenurk.

Drucker-Prageri voolavusfunktsioon¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Siin arvutatakse materjalikonstandid \(\alpha\) ja \(\sigma_y\) materjali kohesiooni ja hõõrdenurga põhjal järgmiselt.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Seotud teemad¶

Lineaarne elastsus — elastne vastus (elastoplastsuse elastne osa)
Puutujajäikuse maatriks — puutujajäikus inkrementaalanalüüsiks, mis hõlmab materjali mittelineaarsust
Materjaliandmed (funktsioonid) — voolavusfunktsioonide ja kõvenemisseaduste valikud ning valimine